Номер 591 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 591.
Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвертого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь первое число переменной n. Тогда остальные три числа будут n+1, n+2, n+3. Составь уравнение, согласно условию: квадраты второго и четвёртого минус квадраты первого и третьего равно 82. Раскрой все скобки и упрости.
Решение по шагам
Обозначим четыре последовательных натуральных числа как n, n+1, n+2, n+3, где n — первое число.
По условию задачи: сумма квадратов второго и четвёртого чисел на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.
Запишем уравнение: (n+1)² + (n+3)² = n² + (n+2)² + 82
Раскроем скобки слева: (n+1)² = n² + 2n + 1 (n+3)² = n² + 6n + 9 Сумма: n² + 2n + 1 + n² + 6n + 9 = 2n² + 8n + 10
Раскроем скобки справа: n² + (n+2)² + 82 = n² + n² + 4n + 4 + 82 = 2n² + 4n + 86
Получаем уравнение: 2n² + 8n + 10 = 2n² + 4n + 86
Упростим (вычтем 2n² из обеих частей): 8n + 10 = 4n + 86
Перенесём 4n в левую часть, 10 в правую: 8n - 4n = 86 - 10 4n = 76 n = 19
Значит, четыре последовательных числа: 19, 20, 21, 22
Проверка: Второе и четвёртое: 20² + 22² = 400 + 484 = 884 Первое и третье: 19² + 21² = 361 + 441 = 802 Разность: 884 - 802 = 82 ✓