Номер 555 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 555.
Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь первое число как 10a + b, второе как 10b + a. Составь уравнение из условия на разность квадратов. Используй формулу разности квадратов x² - y² = (x + y)(x - y), чтобы упростить выражение.
Решение по шагам
Обозначим двузначное число как ab, где a и b — цифры. Это число можно записать как 10a + b.
Первое число: 10a + b Второе число: 10b + a (цифры переставлены)
Условие: разность квадратов равна 693. (10a + b)² - (10b + a)² = 693
Используем формулу разности квадратов: x² - y² = (x + y)(x - y)
((10a + b) + (10b + a))((10a + b) - (10b + a)) = 693 (10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = 693 (11a + 11b)(9a - 9b) = 693 11(a + b) · 9(a - b) = 693 99(a + b)(a - b) = 693
Разделим обе части на 99: (a + b)(a - b) = 7
Так как a и b — цифры (от 1 до 9, причём a ≥ 1), нужно найти делители числа 7. Делители 7: 1 и 7
Вариант 1: a + b = 7 a - b = 1
Сложим уравнения: 2a = 8, значит a = 4 Вычтем: 2b = 6, значит b = 3
Проверка: (a + b)(a - b) = 7 · 1 = 7 ✓
Первое число: 10 · 4 + 3 = 43 Второе число: 10 · 3 + 4 = 34
Проверим исходное условие: 43² - 34² = 1849 - 1156 = 693 ✓
Вариант 2: a + b = 7 a - b = -1 (это даёт (a + b)(a - b) = -7 ≠ 7)
Этот вариант не подходит.