Номер 556 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 556.
Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, в другого числа – 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь каждое число через остаток: первое число = 7m + 4, второе число = 7n + 3. Затем найди разность их квадратов и попробуй вынести общий множитель 7.
Решение по шагам
Обозначим два натуральных числа как a и b.
По условию задачи:
- остаток от деления a на 7 равен 4, значит a = 7m + 4, где m — натуральное число
- остаток от деления b на 7 равен 3, значит b = 7n + 3, где n — натуральное число
Найдём разность квадратов этих чисел: a² - b² = (7m + 4)² - (7n + 3)²
Раскроем скобки: (7m + 4)² = 49m² + 56m + 16 (7n + 3)² = 49n² + 42n + 9
Вычтем: a² - b² = 49m² + 56m + 16 - 49n² - 42n - 9 a² - b² = 49m² - 49n² + 56m - 42n + 16 - 9 a² - b² = 49(m² - n²) + 56m - 42n + 7
Вынесем общий множитель 7: a² - b² = 7·[7(m² - n²) + 8m - 6n + 1]
Полученное выражение можно записать как: a² - b² = 7·k, где k = 7(m² - n²) + 8m - 6n + 1 — целое число
Это означает, что разность квадратов a² - b² делится нацело на 7, то есть кратна 7.
Что и требовалось доказать.