Номер 554 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 554.
Докажите тождество:
(m3 − n3)2(m3 + n3)2 − (m6 + n6)2 = –4m6n6.
💡 Подсказка (без ответа)
Заметьте, что (m³ − n³)²(m³ + n³)² = [(m³ − n³)(m³ + n³)]². Затем примените формулу (a − b)(a + b) = a² − b², чтобы упростить произведение в скобках, и в конце используйте разность квадратов для выражения (m⁶ − n⁶)² − (m⁶ + n⁶)²
Решение по шагам
Докажем тождество пошагово.
Шаг 1. Посмотрим на левую часть: (m³ − n³)²(m³ + n³)² − (m⁶ + n⁶)²
Заметим, что (m³ − n³)²(m³ + n³)² можно переписать как произведение двух квадратов: (m³ − n³)²(m³ + n³)² = [(m³ − n³)(m³ + n³)]²
Шаг 2. Используем формулу разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b²
(m³ − n³)(m³ + n³) = (m³)² − (n³)² = m⁶ − n⁶
Поэтому: [(m³ − n³)(m³ + n³)]² = (m⁶ − n⁶)²
Шаг 3. Теперь левая часть имеет вид: (m⁶ − n⁶)² − (m⁶ + n⁶)²
Шаг 4. Применим формулу разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b)
Пусть a = m⁶ − n⁶ и b = m⁶ + n⁶
(m⁶ − n⁶)² − (m⁶ + n⁶)² = [(m⁶ − n⁶) − (m⁶ + n⁶)][(m⁶ − n⁶) + (m⁶ + n⁶)]
Шаг 5. Упростим первую скобку: (m⁶ − n⁶) − (m⁶ + n⁶) = m⁶ − n⁶ − m⁶ − n⁶ = −2n⁶
Шаг 6. Упростим вторую скобку: (m⁶ − n⁶) + (m⁶ + n⁶) = m⁶ − n⁶ + m⁶ + n⁶ = 2m⁶
Шаг 7. Перемножим полученные скобки: (−2n⁶)(2m⁶) = −4m⁶n⁶
Левая часть = −4m⁶n⁶ = Правая часть ✓
Тождество доказано.