Номер 553 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 553.
Докажите, что:
1) разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится нацело на 8.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте два последовательных четных (или нечетных) числа через переменную. Например, четные числа — это 2n и 2n + 2. Затем примените формулу разности квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b), или раскройте скобки и упростите выражение.
Решение по шагам
Решение:
Пункт 1) Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел
Обозначим два последовательных четных числа:
- первое число: 2n
- второе число: 2n + 2
Найдем разность их квадратов: (2n + 2)² - (2n)² = (4n² + 8n + 4) - 4n² = 8n + 4
Найдем удвоенную сумму этих чисел: 2 · (2n + 2n + 2) = 2 · (4n + 2) = 8n + 4
Получили одинаковые выражения: 8n + 4 = 8n + 4 ✓
Доказано!
Пункт 2) Разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится нацело на 8
Обозначим два последовательных нечетных числа:
- первое число: 2n + 1
- второе число: 2n + 3
Найдем разность их квадратов: (2n + 3)² - (2n + 1)² = (4n² + 12n + 9) - (4n² + 4n + 1) = 8n + 8
Вынесем общий множитель: 8n + 8 = 8(n + 1)
Получили выражение 8(n + 1), которое содержит множитель 8, значит делится нацело на 8 при любом натуральном n ✓
Доказано!