Номер 552 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 552.
Докажите, что:
1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных четных чисел делится нацело на 4.
💡 Подсказка (без ответа)
Для первого пункта обозначьте два последовательных числа как n и n + 1, раскройте скобки в выражении (n + 1)². Для второго пункта обозначьте четные числа как 2m и 2m + 2, используйте формулу разности квадратов или раскройте скобки.
Решение по шагам
1) Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел
Обозначим два последовательных натуральных числа как n и (n + 1), где n — натуральное число.
Найдем разность их квадратов: (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1
Найдем сумму этих чисел: n + (n + 1) = 2n + 1
Мы получили одно и то же выражение: 2n + 1 = 2n + 1
Это означает, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел действительно равна их сумме. Доказано!
2) Разность квадратов двух последовательных четных чисел делится нацело на 4
Обозначим два последовательных четных числа как 2m и 2m + 2, где m — натуральное число.
Найдем разность их квадратов: (2m + 2)² − (2m)² = (2m + 2 − 2m)(2m + 2 + 2m) = 2 · (4m + 2) = 2 · 2(2m + 1) = 4(2m + 1)
Мы получили выражение 4(2m + 1), которое содержит множитель 4.
Это означает, что разность квадратов двух последовательных четных чисел всегда делится нацело на 4. Доказано!