Номер 546 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 546.
Представьте в виде произведения трех множителей выражение:
1) m4 − 625; 2) x16 − 81; 3) 24n − 16, где n – натуральное число.
💡 Подсказка (без ответа)
Во всех примерах используй формулу разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). Сначала представь выражение как разность квадратов, потом разложи один из полученных множителей еще раз по той же формуле.
Решение по шагам
- m⁴ − 625
Сначала заметим, что 625 = 25². Значит: m⁴ − 625 = m⁴ − 25²
Это разность квадратов. Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b): m⁴ − 25² = (m²)² − 25² = (m² − 25)(m² + 25)
Теперь видим, что m² − 25 — это снова разность квадратов: m² − 25 = m² − 5² = (m − 5)(m + 5)
Получаем три множителя: m⁴ − 625 = (m − 5)(m + 5)(m² + 25)
- x¹⁶ − 81
Заметим, что 81 = 9². Запишем x¹⁶ как степень: x¹⁶ − 81 = (x⁸)² − 9²
Применяем разность квадратов: (x⁸)² − 9² = (x⁸ − 9)(x⁸ + 9)
Видим, что x⁸ − 9 можно еще разложить. Представим 9 = 3²: x⁸ − 9 = (x⁴)² − 3² = (x⁴ − 3)(x⁴ + 3)
Получаем три множителя: x¹⁶ − 81 = (x⁴ − 3)(x⁴ + 3)(x⁸ + 9)
- 2⁴ⁿ − 16
Преобразуем: 2⁴ⁿ − 16 = 2⁴ⁿ − 2⁴ = (2ⁿ)⁴ − 2⁴
Представим как разность квадратов: (2ⁿ)⁴ − 2⁴ = ((2ⁿ)²)² − (2²)² = (2²ⁿ − 4)(2²ⁿ + 4)
Теперь разложим 2²ⁿ − 4: 2²ⁿ − 4 = (2ⁿ)² − 2² = (2ⁿ − 2)(2ⁿ + 2)
Получаем три множителя: 2⁴ⁿ − 16 = (2ⁿ − 2)(2ⁿ + 2)(2²ⁿ + 4)