Номер 519 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 519.
Докажите, что не существует такого натурального числа n, при котором значение выражения (4n + 3) (9n − 4) − (6n − 5) х (6n + 5) − 3 (n − 2) делится нацело на 8.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте все скобки в выражении, используя формулу разности квадратов (a − b)(a + b) = a² − b² для второго произведения. Затем приведите подобные члены и посмотрите, какой остаток остаётся при делении результата на 8.
Решение по шагам
Раскроем скобки и упростим выражение.
Шаг 1: Раскроем (4n + 3)(9n − 4) (4n + 3)(9n − 4) = 36n² − 16n + 27n − 12 = 36n² + 11n − 12
Шаг 2: Раскроем (6n − 5)(6n + 5) Это формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b² (6n − 5)(6n + 5) = 36n² − 25
Шаг 3: Раскроем −3(n − 2) −3(n − 2) = −3n + 6
Шаг 4: Подставим всё в исходное выражение (36n² + 11n − 12) − (36n² − 25) − 3n + 6
Шаг 5: Упростим 36n² + 11n − 12 − 36n² + 25 − 3n + 6 = = (36n² − 36n²) + (11n − 3n) + (−12 + 25 + 6) = = 0 + 8n + 19 = = 8n + 19
Шаг 6: Проверим делимость на 8 8n + 19 = 8n + 16 + 3 = 8(n + 2) + 3
Мы видим, что выражение имеет остаток 3 при делении на 8.
Это означает, что при любом натуральном значении n выражение 8n + 19 НЕ делится нацело на 8.
Вывод: Остаток всегда равен 3, поэтому не существует натурального числа n, при котором исходное выражение делилось бы нацело на 8. Что и требовалось доказать.