Номер 520 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 520.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
(9n − 4) (9n + 4) − (8n − 2) (4n + 3) + 5 (6n + 9) делится нацело на 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте все скобки по правилам произведения двучленов и умножения на число. Затем приведите подобные члены (с n², с n, свободные). Попробуйте вынести общий множитель 7 из полученного выражения.
Решение по шагам
Раскроем скобки и упростим выражение, затем проверим, делится ли результат на 7.
Шаг 1. Раскроем первое произведение (9n − 4)(9n + 4).
Это разность квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b²
(9n − 4)(9n + 4) = (9n)² − 4² = 81n² − 16
Шаг 2. Раскроем второе произведение (8n − 2)(4n + 3).
(8n − 2)(4n + 3) = 8n · 4n + 8n · 3 − 2 · 4n − 2 · 3 = 32n² + 24n − 8n − 6 = 32n² + 16n − 6
Шаг 3. Раскроем третье произведение 5(6n + 9).
5(6n + 9) = 30n + 45
Шаг 4. Подставим в исходное выражение.
(81n² − 16) − (32n² + 16n − 6) + (30n + 45) = 81n² − 16 − 32n² − 16n + 6 + 30n + 45
Шаг 5. Приведём подобные члены.
Члены с n²: 81n² − 32n² = 49n² Члены с n: −16n + 30n = 14n Свободные члены: −16 + 6 + 45 = 35
Получаем: 49n² + 14n + 35
Шаг 6. Вынесем 7 за скобки.
49n² + 14n + 35 = 7(7n²) + 7(2n) + 7(5) = 7(7n² + 2n + 5)
Вывод: При любом натуральном n выражение равно 7(7n² + 2n + 5), то есть делится нацело на 7. ✓