Номер 491 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 491.
Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n делится нацело на 10.
💡 Подсказка (без ответа)
Сгруппируй слагаемые по основаниям степеней. Вынеси общий множитель: 3^n(9 + 1) и 2^n(4 + 1). Получишь множитель 10 и дополнительный множитель, убедись, что он целый.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение 3^(n+2) – 2^(n+2) + 3^n – 2^n делится на 10 при любом натуральном n > 1.
Шаг 1: Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. 3^(n+2) + 3^n – 2^(n+2) – 2^n
Шаг 2: Вынесем общий множитель из каждой пары. Для степеней числа 3: 3^(n+2) + 3^n = 3^n · 3^2 + 3^n = 3^n(3^2 + 1) = 3^n · 10
Для степеней числа 2: 2^(n+2) + 2^n = 2^n · 2^2 + 2^n = 2^n(2^2 + 1) = 2^n · 5
Шаг 3: Подставим полученные результаты в исходное выражение. 3^n · 10 – 2^n · 5 = 5(3^n · 2 – 2^n) = 5(2 · 3^n – 2^n)
Шаг 4: Проверим делимость на 10. Выражение 5(2 · 3^n – 2^n) делится на 5. Нужно показать, что множитель (2 · 3^n – 2^n) делится на 2.
2 · 3^n – 2^n = 2 · 3^n – 2^n
Поскольку 3^n нечётное (любая степень нечётного числа нечётна), то 2 · 3^n чётное. 2^n при n > 1 чётное. Разность двух чётных чисел чётная, то есть делится на 2.
Шаг 5: Вывод. Всё выражение = 5 · 2 · (целое число) = 10 · (целое число)
Следовательно, выражение делится нацело на 10 при любом натуральном n > 1.