Номер 489 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 489.
Докажите, что при всех натуральных значения n значение выражения n3 + 3n2 +2n делится нацело на 6.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала вынеси общий множитель n из выражения. Потом разложи оставшийся квадратный трёхчлен на множители. Посмотри, какое произведение у тебя получилось — это произведение трёх последовательных чисел.
Решение по шагам
Нужно доказать, что n³ + 3n² + 2n делится на 6 при любом натуральном n.
Шаг 1: Разложим выражение на множители. Вынесем общий множитель n: n³ + 3n² + 2n = n(n² + 3n + 2)
Шаг 2: Разложим квадратный трёхчлен. Найдём два числа, которые в сумме дают 3, а в произведении 2. Это числа 1 и 2. n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
Шаг 3: Получаем полное разложение. n³ + 3n² + 2n = n(n + 1)(n + 2)
Шаг 4: Проанализируем произведение трёх множителей. Это произведение трёх последовательных натуральных чисел: n, (n + 1) и (n + 2).
Шаг 5: Доказываем делимость на 2. Среди трёх последовательных натуральных чисел хотя бы одно чётное. Значит, произведение делится на 2.
Шаг 6: Доказываем делимость на 3. Среди трёх последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3. Значит, произведение делится на 3.
Шаг 7: Итоговый вывод. Произведение n(n + 1)(n + 2) делится и на 2, и на 3. Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, произведение делится на 6.
Что и требовалось доказать.