Номер 424 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 424.
Докажите, что если ab + bc + ac = 0, то (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b) = a2 + b2 + c2.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки в каждом произведении отдельно. Потом сложи все три результата и приведи подобные члены. После этого вспомни, что дано в условии (ab + bc + ac = 0) и подставь это в полученное выражение.
Решение по шагам
Нужно доказать, что левая часть равна правой.
Шаг 1. Раскроем скобки в левой части.
(a − b)(a − c) = a² − ac − ab + bc
(b − c)(b − a) = b² − ab − bc + ac
(c − a)(c − b) = c² − bc − ac + ab
Шаг 2. Сложим все три выражения.
(a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b) = = a² − ac − ab + bc + b² − ab − bc + ac + c² − bc − ac + ab
Шаг 3. Приведём подобные члены.
Слагаемые a²: a²
Слагаемые b²: b²
Слагаемые c²: c²
Слагаемые ab: −ab − ab + ab = −ab
Слагаемые ac: −ac + ac − ac = −ac
Слагаемые bc: bc − bc − bc = −bc
Шаг 4. Получаем:
(a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b) = a² + b² + c² − ab − ac − bc
Шаг 5. Используем условие ab + bc + ac = 0.
Это означает: −ab − bc − ac = 0
Поэтому: a² + b² + c² − ab − ac − bc = a² + b² + c² + 0 = a² + b² + c²
Вывод: левая часть равна правой части. Что и требовалось доказать.