Номер 423 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 423.
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Запиши условия через формулы: если остаток равен 9, то m = 11k + 9, если остаток равен 5, то n = 11p + 5. Потом перемножь эти выражения и выдели из результата множитель 11, тогда увидишь остаток.
Решение по шагам
Решим эту задачу пошагово, используя свойства делимости.
Шаг 1. Запишем условия задачи в виде формул.
Если остаток при делении m на 11 равен 9, то: m = 11k + 9 (где k — некоторое целое число)
Если остаток при делении n на 11 равен 5, то: n = 11p + 5 (где p — некоторое целое число)
Шаг 2. Найдём произведение m и n.
m × n = (11k + 9)(11p + 5)
Шаг 3. Раскроем скобки.
m × n = 11k × 11p + 11k × 5 + 9 × 11p + 9 × 5
m × n = 121kp + 55k + 99p + 45
Шаг 4. Выделим из этого выражения делители 11.
Первое слагаемое: 121kp = 11 × 11kp (делится на 11) Второе слагаемое: 55k = 11 × 5k (делится на 11) Третье слагаемое: 99p = 11 × 9p (делится на 11) Четвёртое слагаемое: 45
Шаг 5. Перепишем произведение.
m × n = 11(11kp + 5k + 9p) + 45
Шаг 6. Найдём остаток от деления 45 на 11.
45 = 11 × 4 + 1
Значит, 45 при делении на 11 даёт остаток 1.
Шаг 7. Вывод.
m × n = 11(11kp + 5k + 9p) + (11 × 4 + 1) = 11(11kp + 5k + 9p + 4) + 1
Полученное выражение показывает, что произведение m × n при делении на 11 даёт остаток 1.
Что и требовалось доказать.