Номер 414 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 414.
при всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 9)(n + 11)−(n + 3)(n + 5) кратно 12?
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки в обоих произведениях по формуле (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Затем вычти второе из первого и приведи подобные члены. Посмотри, сможешь ли ты вынести общий множитель из полученного результата.
Решение по шагам
Раскроем скобки и упростим выражение.
Шаг 1. Раскроем первое произведение (n + 9)(n + 11): (n + 9)(n + 11) = n² + 11n + 9n + 99 = n² + 20n + 99
Шаг 2. Раскроем второе произведение (n + 3)(n + 5): (n + 3)(n + 5) = n² + 5n + 3n + 15 = n² + 8n + 15
Шаг 3. Найдём разность: (n² + 20n + 99) − (n² + 8n + 15) = n² + 20n + 99 − n² − 8n − 15 = 12n + 84
Шаг 4. Вынесем общий множитель: 12n + 84 = 12(n + 7)
Шаг 5. Проверим кратность на 12: Получилось 12(n + 7). Это выражение содержит множитель 12, поэтому оно всегда делится на 12 при любом натуральном n.
Ответ: да, при всех натуральных значениях n.