Номер 413 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 413.
Докажите тождество:
1) 3а2 + 10а + 3 = 3(а + 3)(а + 1/3); 2) (а + 1)(а2 + 5а + 6) = (а2 + 3а + 2)(а + 3); 3) (а + 1)(а4 − a3 + а2 − а + 1) = а5 + 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в правой части (или левой) с помощью распределительного свойства. Приведите подобные члены. Если обе части совпали — тождество доказано.
Решение по шагам
Решение:
1) Доказать: 3а² + 10а + 3 = 3(а + 3)(а + 1/3)
Раскроем правую часть:
3(а + 3)(а + 1/3) = 3 · [(а + 3)(а + 1/3)]
Сначала умножим скобки (а + 3)(а + 1/3): (а + 3)(а + 1/3) = а · а + а · 1/3 + 3 · а + 3 · 1/3 = а² + а/3 + 3а + 1
Теперь умножим на 3: 3(а² + а/3 + 3а + 1) = 3а² + 3 · а/3 + 3 · 3а + 3 · 1 = 3а² + а + 9а + 3 = 3а² + 10а + 3
Получили левую часть. Тождество доказано.
2) Доказать: (а + 1)(а² + 5а + 6) = (а² + 3а + 2)(а + 3)
Раскроем левую часть: (а + 1)(а² + 5а + 6) = а · а² + а · 5а + а · 6 + 1 · а² + 1 · 5а + 1 · 6 = а³ + 5а² + 6а + а² + 5а + 6 = а³ + 6а² + 11а + 6
Раскроем правую часть: (а² + 3а + 2)(а + 3) = а² · а + а² · 3 + 3а · а + 3а · 3 + 2 · а + 2 · 3 = а³ + 3а² + 3а² + 9а + 2а + 6 = а³ + 6а² + 11а + 6
Обе части равны. Тождество доказано.
3) Доказать: (а + 1)(а⁴ − а³ + а² − а + 1) = а⁵ + 1
Раскроем левую часть, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
(а + 1)(а⁴ − а³ + а² − а + 1) = а · а⁴ − а · а³ + а · а² − а · а + а · 1 + 1 · а⁴ − 1 · а³ + 1 · а² − 1 · а + 1 · 1
= а⁵ − а⁴ + а³ − а² + а + а⁴ − а³ + а² − а + 1
Приведём подобные члены:
- а⁵ остаётся
- (−а⁴ + а⁴) = 0
- (а³ − а³) = 0
- (−а² + а²) = 0
- (а − а) = 0
- 1 остаётся
= а⁵ + 1
Получили правую часть. Тождество доказано.