Номер 410 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 410.
Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 см2. Найдите стороны данного прямоугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь стороны прямоугольника буквами a и b. Из условия про периметр составь уравнение: 2(a + b) = 60. Затем запиши выражение для исходной площади и для площади после изменения сторон, используя условие про уменьшение площади на 21 см².
Решение по шагам
Обозначим стороны прямоугольника:
- первая сторона: a см
- вторая сторона: b см
Шаг 1. Используем условие про периметр. Периметр прямоугольника = 2(a + b) = 60 Делим на 2: a + b = 30 Отсюда: b = 30 - a
Шаг 2. Найдём площадь исходного прямоугольника. S₁ = a · b = a(30 - a)
Шаг 3. Найдём размеры нового прямоугольника. Первая сторона уменьшилась на 5 см: (a - 5) см Вторая сторона увеличилась на 3 см: (b + 3) см Подставим b = 30 - a: Вторая сторона: (30 - a + 3) = (33 - a) см
Шаг 4. Найдём площадь нового прямоугольника. S₂ = (a - 5)(33 - a) Раскроем скобки: S₂ = 33a - a² - 165 + 5a = -a² + 38a - 165
Шаг 5. Используем условие про уменьшение площади. Площадь уменьшилась на 21 см²: S₁ - S₂ = 21 a(30 - a) - (-a² + 38a - 165) = 21 30a - a² + a² - 38a + 165 = 21 30a - 38a + 165 = 21 -8a + 165 = 21 -8a = 21 - 165 -8a = -144 a = 18
Шаг 6. Найдём вторую сторону. b = 30 - a = 30 - 18 = 12
Шаг 7. Проверка.
- Периметр: 2(18 + 12) = 60 ✓
- Исходная площадь: 18 · 12 = 216 см²
- Новые размеры: (18 - 5) = 13 см и (12 + 3) = 15 см
- Новая площадь: 13 · 15 = 195 см²
- Уменьшение: 216 - 195 = 21 см² ✓