Номер 341 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
Редакция 2024
№ 341.
В шестизначном числе первая и четвертая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.
💡 Подсказка (без ответа)
Запиши шестизначное число с повторяющимися цифрами в виде суммы: abc000 + abc. Вынеси общий множитель и разложи 1001 на простые множители.
Решение по шагам
Обозначим шестизначное число, в котором повторяются цифры через каждые три разряда.
Пусть первая цифра — a, вторая — b, третья — c.
Тогда число имеет вид: abcabc
Это можно записать так: abc000 + abc = abc × 1000 + abc
Вынесем общий множитель: abc × (1000 + 1) = abc × 1001
Теперь разложим 1001 на множители.
Проверим делимость 1001:
- На 7: 1001 ÷ 7 = 143 ✓
- На 11: 1 - 0 + 0 - 1 = 0, значит делится на 11. Проверим: 1001 ÷ 11 = 91 ✓
- На 13: 1001 ÷ 13 = 77 ✓
Полная факторизация: 1001 = 7 × 11 × 13
Следовательно: abcabc = abc × 1001 = abc × 7 × 11 × 13
Поскольку число представимо в виде произведения abc на 7, на 11 и на 13, то оно кратно каждому из этих чисел.
Что и требовалось доказать.
Редакция 2018
№ 341.
Докажите, что:
1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5; 2) сумма трех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 6; 3) сумма четырех последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 8; 4) сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4; 5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.