ГлавнаяГДЗАлгебра 7 класс МерзлякНомер 269

Номер 269 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк

Редакция 2024

№ 269.

Докажите, что выражение х2 + (х - 1)2 принимает только положительные значения.

💡 Подсказка (без ответа)

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Затем выделите полный квадрат, чтобы представить выражение в виде суммы неотрицательного числа и положительной константы.

Решение по шагам

Нужно доказать, что выражение x² + (x - 1)² всегда больше нуля при любом значении x.

Шаг 1. Раскроем скобки в выражении (x - 1)²: (x - 1)² = x² - 2x + 1

Шаг 2. Подставим в исходное выражение: x² + (x - 1)² = x² + x² - 2x + 1 = 2x² - 2x + 1

Шаг 3. Преобразуем полученное выражение, выделяя полный квадрат: 2x² - 2x + 1 = 2(x² - x) + 1

Шаг 4. Выделим полный квадрат в скобках: x² - x = x² - x + 1/4 - 1/4 = (x - 1/2)² - 1/4

Шаг 5. Подставим обратно: 2(x² - x) + 1 = 2((x - 1/2)² - 1/4) + 1 = 2(x - 1/2)² - 1/2 + 1 = 2(x - 1/2)² + 1/2

Шаг 6. Анализируем результат:

  • (x - 1/2)² ≥ 0 при любом x (квадрат числа не может быть отрицательным)
  • 2(x - 1/2)² ≥ 0
  • 2(x - 1/2)² + 1/2 ≥ 1/2 > 0

Вывод: Выражение x² + (x - 1)² = 2(x - 1/2)² + 1/2 всегда больше нуля, то есть принимает только положительные значения.

Ответ: Выражение x² + (x - 1)² = 2(x - 1/2)² + 1/2. Поскольку 2(x - 1/2)² ≥ 0 и 1/2 > 0, то всё выражение всегда ≥ 1/2 > 0. Следовательно, оно принимает только положительные значения.

Редакция 2018

№ 269.

Выполните умножение одночленов:

1) 0,6a4b3 ∙ 4a2b; 2) −2,8x2y2c ∙ 0,5x4y4c; 3) 13c2d ∙ (−3cd); 4) 0,7x6у9 ∙ 0.3xy; 5) −3/20p2q8 ∙40/81p8q2; 6) −61/2mn8p11 ∙ 35/13m5n5.

💡 Подсказка (без ответа)

При умножении одночленов умножай коэффициенты отдельно, а для одинаковых букв складывай показатели степеней (используй правило a^m · a^n = a^(m+n)). С дробными коэффициентами сначала переведи смешанные числа в неправильные дроби, потом перемножай.

Решение по шагам

Умножаем одночлены, перемножая коэффициенты и складывая показатели степеней одинаковых переменных.

  1. 0,6a⁴b³ · 4a²b Коэффициенты: 0,6 · 4 = 2,4 Переменные: a⁴ · a² = a⁶; b³ · b = b⁴ Результат: 2,4a⁶b⁴

  2. −2,8x²y²c · 0,5x⁴y⁴c Коэффициенты: −2,8 · 0,5 = −1,4 Переменные: x² · x⁴ = x⁶; y² · y⁴ = y⁶; c · c = c² Результат: −1,4x⁶y⁶c²

  3. 13c²d · (−3cd) Коэффициенты: 13 · (−3) = −39 Переменные: c² · c = c³; d · d = d² Результат: −39c³d²

  4. 0,7x⁶y⁹ · 0,3xy Коэффициенты: 0,7 · 0,3 = 0,21 Переменные: x⁶ · x = x⁷; y⁹ · y = y¹⁰ Результат: 0,21x⁷y¹⁰

  5. −3/20p²q⁸ · 40/81p⁸q² Коэффициенты: −3/20 · 40/81 = −(3 · 40)/(20 · 81) = −120/1620 = −2/27 Переменные: p² · p⁸ = p¹⁰; q⁸ · q² = q¹⁰ Результат: −2/27p¹⁰q¹⁰

  6. −6 1/2mn⁸p¹¹ · 3 5/13m⁵n⁵ Преобразуем смешанные числа: −6 1/2 = −13/2; 3 5/13 = 44/13 Коэффициенты: −13/2 · 44/13 = −(13 · 44)/(2 · 13) = −44/2 = −22 Переменные: m · m⁵ = m⁶; n⁸ · n⁵ = n¹³; p¹¹ Результат: −22m⁶n¹³p¹¹

Ответ: 1) 2,4a⁶b⁴; 2) −1,4x⁶y⁶c²; 3) −39c³d²; 4) 0,21x⁷y¹⁰; 5) −2/27p¹⁰q¹⁰; 6) −22m⁶n¹³p¹¹

← Номер 268 · Номер 270 → · Все номера