Номер 226 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
Редакция 2024
№ 226.
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 10. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными?
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри, как меняется сумма всех чисел при каждой разрешённой операции. Какое свойство суммы сохраняется? Сравни начальную сумму и сумму, которая была бы, если бы все числа стали равными.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проанализируем эту задачу пошагово.
Шаг 1: Найдём сумму всех чисел в начале
На доске числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Сумма = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
Шаг 2: Посмотрим, как меняется сумма при операциях
Операция 1: К двум числам прибавляем 5
- Сумма увеличивается на 5 + 5 = 10
Операция 2: Из двух чисел вычитаем 1
- Сумма уменьшается на 1 + 1 = 2
Шаг 3: Какие суммы возможны?
Любая сумма, которую мы получим, имеет вид: 55 + 10a - 2b
где a — количество операций типа 1, b — количество операций типа 2.
Это можно переписать как: 55 + 10a - 2b = 55 + 2(5a - b)
Шаг 4: Какой остаток при делении на 2?
55 = 2 · 27 + 1 (остаток 1) 2(5a - b) — всегда чётное число
Поэтому любая возможная сумма имеет остаток 1 при делении на 2 (то есть нечётная).
Шаг 5: Если все 10 чисел равны
Пусть все числа стали равны некоторому числу x.
Тогда сумма = 10x
Но 10x — всегда чётное число!
Вывод:
Сумма всех чисел всегда остаётся нечётной (остаток 1), а сумма 10 равных чисел всегда чётная.
Это противоречие.
Поэтому добиться того, чтобы все числа были равными, невозможно.
Редакция 2018
№ 226.
Представьте в виде степени выражение (где n - натуральное число):
1) аna5; 2) aan; 3) a3an; 4) (a3)n; 5) (an)2 ∙ (a5)n.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни два основных правила действия со степенями: 1) при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются (a^m · a^k = a^(m+k)); 2) при возведении степени в степень показатели перемножаются ((a^m)^k = a^(mk))
Решение по шагам
a^n · a^5 Применяем правило произведения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней основание остаётся, показатели складываются. a^n · a^5 = a^(n+5)
a · a^n Здесь a можно записать как a^1. a · a^n = a^1 · a^n = a^(1+n) = a^(n+1)
a^3 · a^n Умножаем степени с одинаковым основанием. a^3 · a^n = a^(3+n)
(a^3)^n Применяем правило возведения степени в степень: основание остаётся, показатели перемножаются. (a^3)^n = a^(3n)
(a^n)^2 · (a^5)^n Сначала возводим каждую скобку в степень. (a^n)^2 = a^(2n) (a^5)^n = a^(5n) Теперь перемножаем полученные степени. a^(2n) · a^(5n) = a^(2n+5n) = a^(7n)