Номер 187 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
Редакция 2024
№ 187.
В двух корзинах было 24 кг груш. Когда из первой корзины переложили во вторую 3/7 массы содержащихся в ней груш, то масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш, оставшихся в первой корзине. Сколько килограммов груш было в каждой корзине сначала?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь массу груш в первой корзине как x, тогда во второй 24 - x. Найди, сколько груш переложили (это 3/7 от x), и сколько осталось в первой корзине. Составь уравнение, используя условие, что во второй корзине стало в 2 раза больше, чем осталось в первой.
Решение по шагам
Обозначим массу груш в первой корзине как x кг, тогда во второй корзине было (24 - x) кг.
Шаг 1. Из первой корзины переложили 3/7 её содержимого, то есть переложили 3x/7 кг.
Шаг 2. В первой корзине осталось: x - 3x/7 = 7x/7 - 3x/7 = 4x/7 кг
Шаг 3. Во второй корзине стало: (24 - x) + 3x/7 кг
Шаг 4. По условию, масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш в первой: (24 - x) + 3x/7 = 2 · 4x/7
Шаг 5. Решаем уравнение: (24 - x) + 3x/7 = 8x/7
Умножим всё на 7, чтобы избавиться от дробей: 7(24 - x) + 3x = 8x 168 - 7x + 3x = 8x 168 - 4x = 8x 168 = 12x x = 14
Шаг 6. В первой корзине было 14 кг груш. Во второй корзине было 24 - 14 = 10 кг груш.
Шаг 7. Проверка:
- Из первой переложили: 3/7 · 14 = 6 кг
- В первой осталось: 14 - 6 = 8 кг
- Во второй стало: 10 + 6 = 16 кг
- 16 = 2 · 8 ✓ Верно!
Редакция 2018
№ 187.
Докажите, что выражение х2 + (х − 1)2 принимает только положительные значения.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобку (x − 1)² и приведите подобные слагаемые. Затем выделите полный квадрат из получившегося выражения — представьте его в виде суммы квадрата и положительного числа.
Решение по шагам
Докажем, что выражение x² + (x − 1)² всегда положительно.
Шаг 1. Раскроем скобки в выражении (x − 1)². (x − 1)² = x² − 2x + 1
Шаг 2. Подставим в исходное выражение. x² + (x − 1)² = x² + x² − 2x + 1 = 2x² − 2x + 1
Шаг 3. Выделим полный квадрат из выражения 2x² − 2x + 1. Вынесем 2 из первых двух слагаемых: 2x² − 2x + 1 = 2(x² − x) + 1
Дополним до полного квадрата внутри скобок: x² − x = (x − 1/2)² − 1/4
Получаем: 2(x² − x) + 1 = 2((x − 1/2)² − 1/4) + 1 = 2(x − 1/2)² − 1/2 + 1 = 2(x − 1/2)² + 1/2
Шаг 4. Проанализируем результат. 2(x − 1/2)² + 1/2
• (x − 1/2)² ≥ 0 при любом x (квадрат любого числа не отрицателен) • 2(x − 1/2)² ≥ 0 • 2(x − 1/2)² + 1/2 ≥ 1/2 > 0
Вывод: выражение 2(x − 1/2)² + 1/2 всегда больше нуля, значит x² + (x − 1)² принимает только положительные значения.