Номер 1207 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1207.
Можно ли утверждать, что значение выражения n3 + 2n делится нацело на 3 при любом натуральном значении n?
💡 Подсказка (без ответа)
Рассмотри, какие остатки может иметь натуральное число n при делении на 3. Подставь каждый случай (n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2) в выражение n³ + 2n и проверь делимость на 3.
Решение по шагам
Решим задачу, проверив делимость выражения n³ + 2n на 3.
Шаг 1. Разложим выражение на множители. Преобразуем: n³ + 2n = n(n² + 2)
Шаг 2. Проверим через остатки при делении на 3. Любое натуральное число n при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2.
Случай 1: n = 3k (остаток 0) Тогда n³ + 2n = 3k · (9k² + 2) — этот множитель содержит 3, выражение делится на 3. ✓
Случай 2: n = 3k + 1 (остаток 1) n³ + 2n = (3k + 1)³ + 2(3k + 1) Разложим (3k + 1)³ = 27k³ + 27k² + 9k + 1 2(3k + 1) = 6k + 2 Сумма: 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 6k + 2 = 27k³ + 27k² + 15k + 3 Все слагаемые кроме 3 делятся на 3, и само число 3 делится на 3. Выражение делится на 3. ✓
Случай 3: n = 3k + 2 (остаток 2) n³ + 2n = (3k + 2)³ + 2(3k + 2) Разложим (3k + 2)³ = 27k³ + 54k² + 36k + 8 2(3k + 2) = 6k + 4 Сумма: 27k³ + 54k² + 36k + 8 + 6k + 4 = 27k³ + 54k² + 42k + 12 Все слагаемые делятся на 3. Выражение делится на 3. ✓
Шаг 3. Вывод. Мы проверили все возможные остатки, и в каждом случае выражение делится нацело на 3.