Номер 1206 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1206.
Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения n4 – 1 делится нацело на 5.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи n⁴ – 1 на множители, используя формулу разности квадратов. Затем рассмотри все возможные остатки натурального числа n при делении на 5 (это будут 1, 2, 3 и 4) и проверь, делится ли произведение на 5 в каждом случае.
Решение по шагам
Доказываем, что n⁴ – 1 делится на 5, если n не кратно 5.
Шаг 1. Разложим выражение на множители. n⁴ – 1 = (n²)² – 1² = (n² – 1)(n² + 1) = (n – 1)(n + 1)(n² + 1)
Шаг 2. Вспомним, какие остатки может давать натуральное число n при делении на 5. Если n не кратно 5, то при делении на 5 остаток может быть: 1, 2, 3 или 4.
Шаг 3. Проверим каждый случай.
Случай 1: n ≡ 1 (mod 5) Тогда n – 1 ≡ 0 (mod 5) Значит, (n – 1)(n + 1)(n² + 1) делится на 5 ✓
Случай 2: n ≡ 2 (mod 5) Тогда n² ≡ 4 (mod 5) Значит, n² + 1 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5) Так как n² + 1 делится на 5, то всё произведение делится на 5 ✓
Случай 3: n ≡ 3 (mod 5) Тогда n² ≡ 9 ≡ 4 (mod 5) Значит, n² + 1 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5) Произведение делится на 5 ✓
Случай 4: n ≡ 4 (mod 5) Тогда n + 1 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5) Значит, (n + 1) делится на 5, и всё произведение делится на 5 ✓
Шаг 4. Вывод. Во всех возможных случаях (когда n не кратно 5) произведение (n – 1)(n + 1)(n² + 1) делится на 5. Следовательно, n⁴ – 1 делится нацело на 5. Что и требовалось доказать.