Номер 1205 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1205.
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Представьте натуральное число n в виде 3k + r, где r — остаток от деления на 3 (r = 1 или r = 2). Затем возведите в квадрат и вычтите 1, после чего вынесите множитель 3.
Решение по шагам
Возьмём натуральное число, которое не кратно 3.
Любое натуральное число можно записать в одном из трёх видов:
- n = 3k (кратно 3)
- n = 3k + 1 (остаток 1 при делении на 3)
- n = 3k + 2 (остаток 2 при делении на 3)
По условию число не кратно 3, значит, это либо n = 3k + 1, либо n = 3k + 2.
Случай 1: n = 3k + 1
Найдём n² - 1: n² - 1 = (3k + 1)² - 1 n² - 1 = 9k² + 6k + 1 - 1 n² - 1 = 9k² + 6k n² - 1 = 3(3k² + 2k)
Ответ: получилось произведение на 3, значит, разность кратна 3. ✓
Случай 2: n = 3k + 2
Найдём n² - 1: n² - 1 = (3k + 2)² - 1 n² - 1 = 9k² + 12k + 4 - 1 n² - 1 = 9k² + 12k + 3 n² - 1 = 3(3k² + 4k + 1)
Ответ: получилось произведение на 3, значит, разность кратна 3. ✓
Вывод: В обоих случаях разность n² - 1 делится на 3, что и требовалось доказать.