Номер 1204 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1204.
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 равно квадрату некоторого натурального числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Сгруппируйте множители так, чтобы раскрыть скобки: перемножьте n с (n + 6), а (n + 2) с (n + 4). После этого введите новую переменную и получите полный квадрат трёхчлена.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 всегда равно полному квадрату.
Шаг 1. Обозначим выражение под квадрат и сгруппируем множители удобным способом.
Возьмём произведение n(n + 2)(n + 4)(n + 6) и перемножим первый множитель с четвёртым, второй с третьим:
n(n + 6) × (n + 2)(n + 4)
Шаг 2. Раскроем скобки в каждой паре.
n(n + 6) = n² + 6n
(n + 2)(n + 4) = n² + 4n + 2n + 8 = n² + 6n + 8
Шаг 3. Теперь перемножим полученные выражения.
(n² + 6n)(n² + 6n + 8)
Обозначим n² + 6n = t. Тогда:
t(t + 8) = t² + 8t
Шаг 4. Подставим t = n² + 6n обратно:
(n² + 6n)² + 8(n² + 6n)
Шаг 5. Добавим 16 (как в исходном выражении):
(n² + 6n)² + 8(n² + 6n) + 16
Шаг 6. Заметим, что это полный квадрат вида a² + 2ab + b²:
(n² + 6n)² + 2 × (n² + 6n) × 4 + 4² = (n² + 6n + 4)²
Шаг 7. Проверка: при n = 1:
- n² + 6n + 4 = 1 + 6 + 4 = 11
- (n² + 6n + 4)² = 121
- n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = 1 × 3 × 5 × 7 + 16 = 105 + 16 = 121 ✓
Вывод: n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = (n² + 6n + 4)², что является квадратом натурального числа n² + 6n + 4.