Номер 1203 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1203.
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй сгруппировать произведение так: [n(n + 3)] × [(n + 1)(n + 2)]. Раскрой скобки в каждой группе и посмотри, что у них общего. Затем введи замену и используй формулу (a + 1)².
Решение по шагам
Нужно доказать, что n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 — это полный квадрат.
Шаг 1. Сгруппируем множители скобок по-другому. Произведение n(n + 1)(n + 2)(n + 3) можно переписать так: [n(n + 3)] × [(n + 1)(n + 2)]
Шаг 2. Раскроем скобки в каждой группе. n(n + 3) = n² + 3n (n + 1)(n + 2) = n² + 3n + 2
Шаг 3. Обозначим n² + 3n = a. Тогда: — первая группа равна a — вторая группа равна a + 2
Шаг 4. Подставим в исходное выражение: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = a(a + 2) + 1 = a² + 2a + 1
Шаг 5. Узнаём формулу сокращённого умножения! a² + 2a + 1 = (a + 1)²
Шаг 6. Подставим обратно a = n² + 3n: (n² + 3n + 1)²
Шаг 7. Вывод. Это означает, что при любом натуральном n выражение n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно (n² + 3n + 1)², то есть квадрату натурального числа n² + 3n + 1.
Что и требовалось доказать.