Номер 1202 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк

Для доказательства используй основное тождество (x + y)² и формулы суммы кубов. В каждом пункте выражай нужную сумму степеней через a и b, подставляя уже доказанные формулы.

Задание № 1202. Доказательства

Дано: x + y = a, xy = b

Требуется доказать три формулы.

1) Доказать, что x² + y² = a² – 2b

Начнём с того, что возведём обе части первого условия в квадрат:

(x + y)² = a²

Раскроем скобки слева:

x² + 2xy + y² = a²

Переносим 2xy в правую часть:

x² + y² = a² – 2xy

Поскольку xy = b, подставляем:

x² + y² = a² – 2b

✓ Первая формула доказана.

2) Доказать, что x³ + y³ = a³ – 3ab

Используем формулу суммы кубов:

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

Подставляем x + y = a:

x³ + y³ = a(x² – xy + y²)

Перепишем выражение в скобках:

x² – xy + y² = (x² + y²) – xy

Подставляем из пункта 1), что x² + y² = a² – 2b, и xy = b:

x² – xy + y² = (a² – 2b) – b = a² – 3b

Теперь возвращаемся к сумме кубов:

x³ + y³ = a(a² – 3b) = a³ – 3ab

✓ Вторая формула доказана.

3) Доказать, что x⁴ + y⁴ = a⁴ – 4a²b + 2b²

Сначала найдём (x² + y²)²:

(x² + y²)² = x⁴ + 2x²y² + y⁴

Отсюда:

x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² – 2x²y²

Подставляем x² + y² = a² – 2b (из пункта 1) и xy = b, откуда x²y² = b²:

x⁴ + y⁴ = (a² – 2b)² – 2b²

Раскроем скобки:

(a² – 2b)² = a⁴ – 2·a²·2b + (2b)² = a⁴ – 4a²b + 4b²

Тогда:

x⁴ + y⁴ = a⁴ – 4a²b + 4b² – 2b² = a⁴ – 4a²b + 2b²

✓ Третья формула доказана.