Номер 1201 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1201.
Докажите, что сумма произведения трех последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте среднее число переменной n, выразите два соседних числа через n. Найдите произведение (n - 1) · n · (n + 1), используя формулу разности квадратов для первых двух множителей.
Решение по шагам
Обозначим три последовательных натуральных числа.
Пусть среднее число равно n (где n — натуральное число, n ≥ 2).
Тогда:
- первое число: n - 1
- второе число: n
- третье число: n + 1
Нужно доказать, что произведение этих трех чисел плюс среднее число равно кубу среднего числа.
Составим выражение для произведения трех последовательных чисел: (n - 1) · n · (n + 1)
Раскроем скобки пошагово.
Сначала умножим (n - 1) · (n + 1). Это разность квадратов: (n - 1)(n + 1) = n² - 1
Теперь умножим результат на n: (n² - 1) · n = n³ - n
Получили произведение трех чисел: n³ - n
Теперь прибавим среднее число n: (n³ - n) + n = n³ - n + n = n³
Итак, сумма произведения трех последовательных натуральных чисел и среднего из них равна n³, то есть кубу среднего числа.
Что и требовалось доказать.