Номер 1200 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1200.
Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи n³ - n на множители через разность квадратов. Получишь произведение трёх последовательных чисел. Вспомни свойство: среди любых трёх подряд идущих чисел одно делится на 2 и одно делится на 3.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение n³ - n делится на 6 для любого натурального числа n.
Шаг 1. Разложим выражение на множители: n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1)
Получилось произведение трёх множителей: (n - 1), n и (n + 1) — это три последовательных натуральных числа.
Шаг 2. Докажем делимость на 2: Среди трёх последовательных чисел всегда есть хотя бы одно чётное число. Значит, произведение n(n - 1)(n + 1) делится на 2.
Шаг 3. Докажем делимость на 3: Среди трёх последовательных чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 3. Значит, произведение n(n - 1)(n + 1) делится на 3.
Шаг 4. Вывод: Произведение n(n - 1)(n + 1) делится и на 2, и на 3. Так как 2 и 3 — взаимно простые числа, то произведение делится на их произведение: 2 × 3 = 6.
Следовательно, n³ - n всегда делится нацело на 6. Что и требовалось доказать.