Номер 1208 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1208.
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n7 – n кратно 42.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи выражение n⁷ - n на множители. Заметь, что 42 = 2 · 3 · 7, и покажи отдельно делимость на каждый из этих множителей. Среди подряд идущих чисел всегда найдутся нужные делители.
Решение по шагам
Нужно доказать, что n⁷ - n делится на 42 при любом натуральном n.
Сначала заметим, что 42 = 2 · 3 · 7. Значит, нужно показать, что n⁷ - n делится на 2, на 3 и на 7 одновременно.
Шаг 1. Разложим выражение: n⁷ - n = n(n⁶ - 1) = n(n³ - 1)(n³ + 1) = n(n - 1)(n² + n + 1)(n + 1)(n² - n + 1)
Переставим множители удобнее: n⁷ - n = (n - 1)·n·(n + 1)·(n² + n + 1)·(n² - n + 1)
Шаг 2. Проверим делимость на 2: Среди трёх подряд идущих чисел (n - 1), n, (n + 1) есть хотя бы одно чётное число. Значит, произведение делится на 2.
Шаг 3. Проверим делимость на 3: Среди трёх подряд идущих чисел (n - 1), n, (n + 1) одно обязательно делится на 3. Значит, произведение делится на 3.
Шаг 4. Проверим делимость на 7: По теореме Ферма: если p — простое число и не делит n, то n^(p-1) ≡ 1 (mod p).
Для p = 7: n⁶ ≡ 1 (mod 7), если n не делится на 7.
Значит, n⁷ ≡ n (mod 7), откуда n⁷ - n ≡ 0 (mod 7).
Если же n делится на 7, то n⁷ - n = n(n⁶ - 1) тоже делится на 7.
Вывод: n⁷ - n делится одновременно на 2, на 3 и на 7, значит, делится на 42.