Номер 1184 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1184.
Докажите, что не существует натурального значения n, при котором значение выражения (8n + 5)(2n + 1) – (4n + 1)2 делилось бы нацело на 5.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в обеих частях выражения и упростите. Получится линейное выражение вида 10n + 4. Посмотрите, какой остаток остается при делении этого выражения на 5.
Решение по шагам
Раскроем скобки и упростим выражение (8n + 5)(2n + 1) – (4n + 1)².
Сначала раскроем первое произведение (8n + 5)(2n + 1): (8n + 5)(2n + 1) = 8n · 2n + 8n · 1 + 5 · 2n + 5 · 1 = 16n² + 8n + 10n + 5 = 16n² + 18n + 5
Раскроем квадрат (4n + 1)²: (4n + 1)² = (4n)² + 2 · 4n · 1 + 1² = 16n² + 8n + 1
Найдём разность: (16n² + 18n + 5) – (16n² + 8n + 1) = 16n² + 18n + 5 – 16n² – 8n – 1 = 10n + 4
Анализируем остаток при делении на 5: 10n + 4 = 5 · 2n + 4
При делении на 5 получаем:
- остаток от 5 · 2n равен 0
- остаток от 4 равен 4
- полный остаток: 0 + 4 = 4
Вывод: Выражение 10n + 4 при любом натуральном n дает остаток 4 при делении на 5. Это значит, что выражение не делится нацело на 5 ни при каком натуральном n.
Что и требовалось доказать.