Номер 1178 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1178.
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:
1) (4n + 19)2 – (3n – 5)2 делится нацело на 7; 2) (2n + 5)2 – (2n – 3)2 делится нацело на 16.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов a² – b² = (a + b)(a – b). В первом примере найди сумму и разность выражений (4n + 19) и (3n – 5), затем упрости полученное произведение. Во втором примере сделай то же самое для выражений (2n + 5) и (2n – 3).
Решение по шагам
Задание 1178
1) Докажите, что (4n + 19)² – (3n – 5)² делится нацело на 7
Шаг 1. Используем формулу разности квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b)
Шаг 2. Обозначим a = 4n + 19, b = 3n – 5
Шаг 3. Находим (a + b): (4n + 19) + (3n – 5) = 4n + 19 + 3n – 5 = 7n + 14
Шаг 4. Находим (a – b): (4n + 19) – (3n – 5) = 4n + 19 – 3n + 5 = n + 24
Шаг 5. Подставляем в формулу разности квадратов: (4n + 19)² – (3n – 5)² = (7n + 14)(n + 24)
Шаг 6. Выносим общий множитель из первой скобки: (7n + 14)(n + 24) = 7(n + 2)(n + 24)
Шаг 7. Произведение содержит множитель 7, поэтому выражение делится нацело на 7 при любом натуральном n.
2) Докажите, что (2n + 5)² – (2n – 3)² делится нацело на 16
Шаг 1. Используем формулу разности квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b)
Шаг 2. Обозначим a = 2n + 5, b = 2n – 3
Шаг 3. Находим (a + b): (2n + 5) + (2n – 3) = 2n + 5 + 2n – 3 = 4n + 2
Шаг 4. Находим (a – b): (2n + 5) – (2n – 3) = 2n + 5 – 2n + 3 = 8
Шаг 5. Подставляем в формулу разности квадратов: (2n + 5)² – (2n – 3)² = (4n + 2) · 8
Шаг 6. Выносим общий множитель из первой скобки: (4n + 2) · 8 = 2(2n + 1) · 8 = 16(2n + 1)
Шаг 7. Произведение содержит множитель 16, поэтому выражение делится нацело на 16 при любом натуральном n.