Номер 1174 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1174.
Докажите, что значение выражения
(a + b – c)(a – b) + (b + c – a)(b – c) + (c + a – b)(c – a)
тождественно равно нулю.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрывайте скобки по очереди, применяя правило распределительного свойства. После раскрытия всех трёх произведений сложите результаты и приведите подобные члены — они должны полностью сократиться.
Решение по шагам
Нужно раскрыть скобки и доказать, что всё сократится.
Шаг 1. Раскроем первое произведение (a + b – c)(a – b): (a + b – c)(a – b) = a² – ab + ab – b² – ac + bc = a² – b² – ac + bc
Шаг 2. Раскроем второе произведение (b + c – a)(b – c): (b + c – a)(b – c) = b² – bc + bc – c² – ab + ac = b² – c² – ab + ac
Шаг 3. Раскроем третье произведение (c + a – b)(c – a): (c + a – b)(c – a) = c² – ac + ac – a² – bc + ab = c² – a² – bc + ab
Шаг 4. Сложим все три результата: (a² – b² – ac + bc) + (b² – c² – ab + ac) + (c² – a² – bc + ab)
Сгруппируем по буквам:
- a²: a² – a² = 0
- b²: –b² + b² = 0
- c²: –c² + c² = 0
- ab: –ab – ab + ab = –ab + ab = 0
- ac: –ac + ac = 0
- bc: bc – bc = 0
Шаг 5. Итог: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Выражение тождественно равно нулю при любых значениях a, b, c. Доказано!