Номер 1154 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1154.
Существуют ли такие значения х и у, при которых многочлены –4х2 – 12xy + 7y2 и 6х2 + 12xy – 5y2 одновременно принимают отрицательные значения?
💡 Подсказка (без ответа)
Сложи два многочлена вместе и посмотри, что получится. Подумай о том, какое выражение получится и может ли оно быть отрицательным при любых значениях x и y.
Решение по шагам
Предположим, что оба многочлена одновременно отрицательны. Тогда их сумма также должна быть отрицательной.
Найдём сумму этих многочленов:
(-4x² - 12xy + 7y²) + (6x² + 12xy - 5y²)
Складываем подобные члены:
- x²: -4x² + 6x² = 2x²
- xy: -12xy + 12xy = 0
- y²: 7y² - 5y² = 2y²
Получаем: 2x² + 2y²
Это выражение можно переписать как: 2x² + 2y² = 2(x² + y²)
Анализируем полученное выражение:
- x² ≥ 0 для любого x
- y² ≥ 0 для любого y
- Значит, x² + y² ≥ 0
- Поэтому 2(x² + y²) ≥ 0
Выражение 2(x² + y²) равно нулю только когда x = 0 и y = 0 одновременно. Во всех остальных случаях 2(x² + y²) > 0.
Вывод: Сумма двух многочленов всегда неотрицательна. Если оба многочлена были бы отрицательны, их сумма была бы отрицательной. Но это противоречит доказанному. Значит, невозможно, чтобы оба многочлена одновременно принимали отрицательные значения.