Номер 1131 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1131.
Докажите, что при любом целом значении а значение выражения (a – 3)(a2 – a + 2) – a(a – 2)2 + 2aделится нацело на 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте все скобки в выражении поочередно. Сначала работайте с (a – 3)(a² – a + 2), потом найдите a(a – 2)². После подставления всех частей приведите подобные слагаемые.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение (a – 3)(a² – a + 2) – a(a – 2)² + 2a делится нацело на 3 при любом целом значении a.
Шаг 1. Раскроем первую скобку (a – 3)(a² – a + 2)
(a – 3)(a² – a + 2) = a · a² + a · (–a) + a · 2 – 3 · a² – 3 · (–a) – 3 · 2 = a³ – a² + 2a – 3a² + 3a – 6 = a³ – 4a² + 5a – 6
Шаг 2. Раскроем вторую часть a(a – 2)²
Сначала (a – 2)² = a² – 4a + 4
Тогда a(a – 2)² = a(a² – 4a + 4) = a³ – 4a² + 4a
Шаг 3. Подставим в исходное выражение
(a³ – 4a² + 5a – 6) – (a³ – 4a² + 4a) + 2a
Шаг 4. Раскроем скобки и упростим
= a³ – 4a² + 5a – 6 – a³ + 4a² – 4a + 2a = (a³ – a³) + (–4a² + 4a²) + (5a – 4a + 2a) – 6 = 0 + 0 + 3a – 6 = 3a – 6 = 3(a – 2)
Шаг 5. Вывод
Мы получили 3(a – 2). Это произведение числа 3 на целое число (a – 2), значит оно всегда делится нацело на 3.
Что и требовалось доказать.