Номер 1074 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1074.
Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, какие остатки дает число при делении на 3, если оно не делится нацело на 3. Запиши числа в виде m = 3a + r и возведи в квадрат, чтобы найти остаток квадрата при делении на 3.
Решение по шагам
Шаг 1. Выпишем, какие остатки могут быть при делении натурального числа на 3.
Любое натуральное число при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2.
Шаг 2. По условию числа не делятся нацело на 3, значит их остатки — только 1 или 2.
Обозначим первое число как m, второе как n.
Шаг 3. Запишем эти числа через остатки:
- m = 3a + 1 или m = 3a + 2 (где a — целое число)
- n = 3b + 1 или n = 3b + 2 (где b — целое число)
Шаг 4. Найдем квадраты таких чисел.
Если m = 3a + 1: m² = (3a + 1)² = 9a² + 6a + 1 = 3(3a² + 2a) + 1
Если m = 3a + 2: m² = (3a + 2)² = 9a² + 12a + 4 = 9a² + 12a + 3 + 1 = 3(3a² + 4a + 1) + 1
В обоих случаях m² при делении на 3 дает остаток 1.
Аналогично, n² при делении на 3 тоже дает остаток 1.
Шаг 5. Найдем разность квадратов: m² - n² = 3(3a² + 2a) + 1 - (3(3b² + 2b) + 1) = 3(3a² + 2a - 3b² - 2b)
Или: m² - n² = 3(3a² + 4a + 1) + 1 - (3(3b² + 4b + 1) + 1) = 3(3a² + 4a - 3b² - 4b)
Шаг 6. В обоих случаях разность m² - n² представима в виде 3k, где k — целое число.
Это означает, что разность квадратов делится нацело на 3, то есть кратна 3.
Вывод доказан.