Номер 984 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 984.
Решите уравнение:
а) (3x + 1)3 = 27x2(x + 1) + 8x + 2;
б) 4x2(2x + 9) = (2x + 3)3 + 12(3x + 1).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой куб суммы по формуле (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Затем раскрой произведения в обеих частях и приведи подобные слагаемые. У тебя должны сократиться старшие члены — останется линейное уравнение.
Решение по шагам
а) (3x + 1)³ = 27x²(x + 1) + 8x + 2
Шаг 1. Раскроем левую часть по формуле куба суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(3x + 1)³ = (3x)³ + 3(3x)²·1 + 3·3x·1² + 1³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1
Шаг 2. Раскроем правую часть
27x²(x + 1) + 8x + 2 = 27x³ + 27x² + 8x + 2
Шаг 3. Составим уравнение
27x³ + 27x² + 9x + 1 = 27x³ + 27x² + 8x + 2
Шаг 4. Перенесём всё в левую часть и приведём подобные
27x³ + 27x² + 9x + 1 - 27x³ - 27x² - 8x - 2 = 0
9x - 8x + 1 - 2 = 0
x - 1 = 0
Шаг 5. Решаем
x = 1
б) 4x²(2x + 9) = (2x + 3)³ + 12(3x + 1)
Шаг 1. Раскроем левую часть
4x²(2x + 9) = 8x³ + 36x²
Шаг 2. Раскроем куб суммы (2x + 3)³
(2x + 3)³ = (2x)³ + 3(2x)²·3 + 3·2x·3² + 3³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27
Шаг 3. Раскроем произведение
12(3x + 1) = 36x + 12
Шаг 4. Составим уравнение
8x³ + 36x² = 8x³ + 36x² + 54x + 27 + 36x + 12
Шаг 5. Перенесём всё в левую часть
8x³ + 36x² - 8x³ - 36x² - 54x - 27 - 36x - 12 = 0
-54x - 36x - 27 - 12 = 0
-90x - 39 = 0
Шаг 6. Решаем
-90x = 39
x = -39/90 = -13/30
Редакция 2019
№ 984.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
а) (n + 1)2 − (n − 1)2 делится на 4; б) (2n + 3)2 − (2n − 1)2 делится на 8; в) (3n + 1)2 − (3n − 1)2 делится на 12; г) (5n + 1)2 − (2n − 1)2 делится на 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b). После раскрытия скобок постарайся вынести общий делитель за скобки или представить результат в виде произведения, одного из множителей которого является требуемое число.
Решение по шагам
Докажем каждый пункт, раскрыв скобки по формуле разности квадратов: (a)² - (b)² = (a + b)(a - b)
а) (n + 1)² - (n - 1)² делится на 4
Способ 1 (через разность квадратов): (n + 1)² - (n - 1)² = [(n + 1) + (n - 1)][(n + 1) - (n - 1)] = (2n)(2) = 4n
4n делится на 4 при любом натуральном n, так как 4n = 4 · n
Способ 2 (через раскрытие скобок): (n + 1)² - (n - 1)² = (n² + 2n + 1) - (n² - 2n + 1) = 4n
4n делится на 4 ✓
б) (2n + 3)² - (2n - 1)² делится на 8
(2n + 3)² - (2n - 1)² = [(2n + 3) + (2n - 1)][(2n + 3) - (2n - 1)] = (4n + 2)(4) = 16n + 8
16n + 8 = 8(2n + 1)
16n + 8 делится на 8 при любом натуральном n ✓
в) (3n + 1)² - (3n - 1)² делится на 12
(3n + 1)² - (3n - 1)² = [(3n + 1) + (3n - 1)][(3n + 1) - (3n - 1)] = (6n)(2) = 12n
12n = 12 · n
12n делится на 12 при любом натуральном n ✓
г) (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7
(5n + 1)² - (2n - 1)² = [(5n + 1) + (2n - 1)][(5n + 1) - (2n - 1)] = (7n + 0)(3n + 2) = 7n(3n + 2)
7n(3n + 2) = 7 · [n(3n + 2)]
Выражение содержит множитель 7, поэтому делится на 7 при любом натуральном n ✓