Номер 983 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 983.
Докажите, что значение выражения не зависит от х:
а) (x + 7)2 − (x − 5)(x + 19);
б) (x + 9)2 + (8 − x)(x + 26).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте все скобки, используя формулу квадрата суммы/разности (a ± b)² и правило умножения двух скобок. После раскрытия приведите подобные члены — все х-ы должны сократиться, останется только число.
Решение по шагам
Задание 983: Докажите, что значение выражения не зависит от х
а) (x + 7)² − (x − 5)(x + 19)
Шаг 1. Раскроем скобки в первой части. (x + 7)² = x² + 2·x·7 + 7² = x² + 14x + 49
Шаг 2. Раскроем скобки во второй части. (x − 5)(x + 19) = x² + 19x − 5x − 95 = x² + 14x − 95
Шаг 3. Подставим в исходное выражение. (x² + 14x + 49) − (x² + 14x − 95)
Шаг 4. Раскроем скобки (внимание на минус перед второй скобкой). x² + 14x + 49 − x² − 14x + 95
Шаг 5. Приведём подобные члены. x² − x² = 0 14x − 14x = 0 49 + 95 = 144
Итог: Получили 144 — это число, а не выражение с х. Значит, значение не зависит от х.
б) (x + 9)² + (8 − x)(x + 26)
Шаг 1. Раскроем скобки в первой части. (x + 9)² = x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81
Шаг 2. Раскроем скобки во второй части. (8 − x)(x + 26) = 8x + 208 − x² − 26x = −x² − 18x + 208
Шаг 3. Подставим в исходное выражение. (x² + 18x + 81) + (−x² − 18x + 208)
Шаг 4. Раскроем скобки. x² + 18x + 81 − x² − 18x + 208
Шаг 5. Приведём подобные члены. x² − x² = 0 18x − 18x = 0 81 + 208 = 289
Итог: Получили 289 — это число, а не выражение с х. Значит, значение не зависит от х.
Редакция 2019
№ 983.
Преобразуйте в произведение:
а) 16 − 9(p + 3)2; б) 9 − 25(4 − x)2; в) 1 − 36(3y − 1)2; г) 4 − 9(a + b)2.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи каждое выражение к виду A² − B², где A и B — числа или произведения. Затем применяй формулу разности квадратов: A² − B² = (A − B)(A + B). Не забывай раскрывать скобки при раскрытии выражений типа 3(p + 3).
Решение по шагам
Решаем, используя формулу разности квадратов: A² − B² = (A − B)(A + B)
а) 16 − 9(p + 3)²
Представим в виде разности квадратов: 16 − 9(p + 3)² = 4² − [3(p + 3)]²
Применяем формулу: = [4 − 3(p + 3)][4 + 3(p + 3)]
Раскрываем скобки: = [4 − 3p − 9][4 + 3p + 9] = [−5 − 3p][13 + 3p] = −(5 + 3p)(13 + 3p)
Или можно переписать: = (−5 − 3p)(13 + 3p) или (5 + 3p)(−13 − 3p)
б) 9 − 25(4 − x)²
Представим в виде разности квадратов: 9 − 25(4 − x)² = 3² − [5(4 − x)]²
Применяем формулу: = [3 − 5(4 − x)][3 + 5(4 − x)]
Раскрываем скобки: = [3 − 20 + 5x][3 + 20 − 5x] = [−17 + 5x][23 − 5x] = (5x − 17)(23 − 5x)
в) 1 − 36(3y − 1)²
Представим в виде разности квадратов: 1 − 36(3y − 1)² = 1² − [6(3y − 1)]²
Применяем формулу: = [1 − 6(3y − 1)][1 + 6(3y − 1)]
Раскрываем скобки: = [1 − 18y + 6][1 + 18y − 6] = [7 − 18y][−5 + 18y] = (7 − 18y)(18y − 5)
г) 4 − 9(a + b)²
Представим в виде разности квадратов: 4 − 9(a + b)² = 2² − [3(a + b)]²
Применяем формулу: = [2 − 3(a + b)][2 + 3(a + b)]
Раскрываем скобки: = [2 − 3a − 3b][2 + 3a + 3b] = (2 − 3a − 3b)(2 + 3a + 3b)