Номер 978 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 978.
Представьте в виде многочлена выражение:
а) (x + y)6 + (x − y)6;
б) (x + y)6 − (x − y)6.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни формулу бинома Ньютона для 6-й степени. При сложении заметь, что члены с нечётными степенями одного из переменных уничтожаются, а при вычитании — наоборот, уничтожаются члены с чётными степенями. Попробуй разложить (x + y)⁶ и (x − y)⁶ по отдельности и затем сложи или вычти.
Решение по шагам
Решим оба пункта, используя формулы бинома Ньютона и свойства чётных/нечётных степеней.
а) (x + y)⁶ + (x − y)⁶
Разложим каждое слагаемое по формуле бинома Ньютона:
(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶
(x − y)⁶ = x⁶ − 6x⁵y + 15x⁴y² − 20x³y³ + 15x²y⁴ − 6xy⁵ + y⁶
Складываем эти выражения: (x + y)⁶ + (x − y)⁶ = (x⁶ + x⁶) + (6x⁵y − 6x⁵y) + (15x⁴y² + 15x⁴y²) + (20x³y³ − 20x³y³) + (15x²y⁴ + 15x²y⁴) + (6xy⁵ − 6xy⁵) + (y⁶ + y⁶)
Члены с нечётными степенями y взаимно уничтожаются, остаются члены с чётными степенями y:
(x + y)⁶ + (x − y)⁶ = 2x⁶ + 30x⁴y² + 30x²y⁴ + 2y⁶
Можно вынести общий множитель 2: = 2(x⁶ + 15x⁴y² + 15x²y⁴ + y⁶)
б) (x + y)⁶ − (x − y)⁶
Используем те же разложения, но вычитаем: (x + y)⁶ − (x − y)⁶ = (x⁶ − x⁶) + (6x⁵y − (−6x⁵y)) + (15x⁴y² − 15x⁴y²) + (20x³y³ − (−20x³y³)) + (15x²y⁴ − 15x²y⁴) + (6xy⁵ − (−6xy⁵)) + (y⁶ − y⁶)
Члены с чётными степенями y взаимно уничтожаются, остаются члены с нечётными степенями y:
(x + y)⁶ − (x − y)⁶ = 12x⁵y + 40x³y³ + 12xy⁵
Выносим общий множитель 4xy: = 4xy(3x⁴ + 10x²y² + 3y⁴)
Редакция 2019
№ 978.
Решите уравнение:
а) (x − 7)2 + 3 = (x − 2)(x + 2); б) (x + 6)2 − (x − 5)(x + 5) = 79; в) (2x − 3)2 − (7 − 2x)2 = 2; г) (5x − 1)2 − (1 − 3x)2 = 16x(x − 3).