Номер 968 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 968.
Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте два последовательных нечётных числа как 2n + 1 и 2n + 3. Найдите разность их квадратов, используя формулу сокращённого умножения или раскрытие скобок. Упростите результат и выделите множитель 8.
Решение по шагам
Обозначим два последовательных нечётных числа.
Пусть первое нечётное число — это 2n + 1, где n — целое число.
Тогда второе последовательное нечётное число — это 2n + 3 (так как нечётные числа отличаются на 2).
Найдём разность их квадратов: (2n + 3)² − (2n + 1)² = ?
Раскроем скобки: (2n + 3)² = 4n² + 12n + 9 (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
Вычтем: (4n² + 12n + 9) − (4n² + 4n + 1) = 4n² + 12n + 9 − 4n² − 4n − 1 = 8n + 8
Вынесем общий множитель: 8n + 8 = 8(n + 1)
Получили выражение 8(n + 1), которое имеет множитель 8. Это означает, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 8.
Что и требовалось доказать.
Редакция 2019
№ 968.
Решите уравнение:
а) (3x + 1)3 = 27x2(x + 1) + 8x + 2; б) 4x2(2x + 9) = (2x + 3)3 + 12(3x + 1).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой куб суммы по формуле (a + b)³. Затем перемножь выражения в скобках. Приведи подобные слагаемые и реши получившееся простое уравнение.
Решение по шагам
Пункт а) (3x + 1)³ = 27x²(x + 1) + 8x + 2
Шаг 1. Раскроем куб левой части по формуле (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: (3x + 1)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·1 + 3·3x·1² + 1³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1
Шаг 2. Раскроем правую часть: 27x²(x + 1) + 8x + 2 = 27x³ + 27x² + 8x + 2
Шаг 3. Составим уравнение: 27x³ + 27x² + 9x + 1 = 27x³ + 27x² + 8x + 2
Шаг 4. Перенесём всё в левую часть: 27x³ + 27x² + 9x + 1 - 27x³ - 27x² - 8x - 2 = 0
Шаг 5. Приведём подобные слагаемые: 9x - 8x + 1 - 2 = 0 x - 1 = 0
Шаг 6. Решаем: x = 1
Пункт б) 4x²(2x + 9) = (2x + 3)³ + 12(3x + 1)
Шаг 1. Раскроем левую часть: 4x²(2x + 9) = 8x³ + 36x²
Шаг 2. Раскроем куб по формуле (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: (2x + 3)³ = (2x)³ + 3·(2x)²·3 + 3·2x·3² + 3³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27
Шаг 3. Раскроем скобки справа: 12(3x + 1) = 36x + 12
Шаг 4. Составим уравнение: 8x³ + 36x² = 8x³ + 36x² + 54x + 27 + 36x + 12
Шаг 5. Упростим правую часть: 8x³ + 36x² = 8x³ + 36x² + 90x + 39
Шаг 6. Перенесём всё в левую часть: 8x³ + 36x² - 8x³ - 36x² - 90x - 39 = 0
Шаг 7. Приведём подобные: -90x - 39 = 0 -90x = 39
Шаг 8. Разделим на -90: x = 39/(-90) = -39/90
Шаг 9. Сократим дробь на 3: x = -13/30