Номер 967 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Разложи многочлен х³ - х на множители. Подумай, какие свойства есть у произведения трёх последовательных целых чисел — как часто среди них встречаются чётные числа и числа, кратные 3?

Нужно доказать, что х³ - х всегда делится на 6 при любом целом значении х.

Шаг 1. Разложим многочлен на множители.

х³ - х = х(х² - 1) = х(х - 1)(х + 1)

Получилось произведение трёх последовательных целых чисел: (х - 1), х и (х + 1).

Шаг 2. Вспомним свойство трёх последовательных чисел.

Среди любых трёх последовательных целых чисел:

• хотя бы одно делится на 2 (на самом деле минимум одно чётное)
• ровно одно делится на 3

Шаг 3. Докажем делимость на 2.

Среди трёх последовательных чисел (х - 1), х, (х + 1) есть хотя бы одно чётное число. На самом деле, среди трёх подряд идущих чисел либо одно, либо два чётных. В любом случае, произведение содержит множитель 2.

Более строго: если х чётное, то х делится на 2. Если х нечётное, то (х - 1) и (х + 1) оба чётные, и одно из них делится на 4. Так или иначе, произведение делится на 2.

Шаг 4. Докажем делимость на 3.

Среди трёх последовательных чисел (х - 1), х, (х + 1) ровно одно делится на 3. Это верно, потому что любое целое число при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2, и три подряд числа дают остатки 0, 1, 2 (или в другом порядке).

Поэтому произведение делится на 3.

Шаг 5. Вывод.

Произведение х(х - 1)(х + 1) делится одновременно на 2 и на 3. Так как 2 и 3 — взаимно простые числа, то произведение делится на 2 × 3 = 6.

Следовательно, х³ - х кратно 6 при любом целом х.

Раскройте все скобки по формулам: квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b² и умножение многочленов. Затем приведите подобные слагаемые — все члены с x должны сократиться.

Нужно раскрыть скобки и упростить выражение. Если в результате х исчезнет, значит значение не зависит от х.

а) (x + 7)² − (x − 5)(x + 19)

Шаг 1. Раскроем квадрат суммы (x + 7)²: (x + 7)² = x² + 2·x·7 + 7² = x² + 14x + 49

Шаг 2. Раскроем произведение (x − 5)(x + 19): (x − 5)(x + 19) = x² + 19x − 5x − 95 = x² + 14x − 95

Шаг 3. Подставим в исходное выражение: (x² + 14x + 49) − (x² + 14x − 95) = x² + 14x + 49 − x² − 14x + 95 = 144

Получилось число 144, без x. Значение не зависит от х. ✓

б) (x + 9)² + (8 − x)(x + 26)

Шаг 1. Раскроем квадрат суммы (x + 9)²: (x + 9)² = x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81

Шаг 2. Раскроем произведение (8 − x)(x + 26): (8 − x)(x + 26) = 8x + 208 − x² − 26x = −x² − 18x + 208

Шаг 3. Подставим в исходное выражение: (x² + 18x + 81) + (−x² − 18x + 208) = x² + 18x + 81 − x² − 18x + 208 = 289

Получилось число 289, без x. Значение не зависит от х. ✓