ГлавнаяГДЗАлгебра 7 класс МакарычевНомер 962

Номер 962 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Редакция 2024

№ 962.

Разложите на множители:

а) x2 − y2 − x − y;
б) a2 − b2 − a + b;
в) m + n + m2 − n2;
г) k2 − k − p2 − p.

💡 Подсказка (без ответа)

Используй формулу разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b). Сначала сгруппируй члены так, чтобы выделить разность квадратов, а потом вынеси общий множитель за скобки.

Решение по шагам

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов и группировку.

а) x² − y² − x − y

  1. Сгруппируем первые два члена и последние два: (x² − y²) − (x + y)
  2. В первой скобке используем формулу разности квадратов: (x − y)(x + y) − (x + y)
  3. Вынесем общий множитель (x + y): (x + y)[(x − y) − 1]
  4. Упростим: (x + y)(x − y − 1)

б) a² − b² − a + b

  1. Сгруппируем: (a² − b²) − (a − b)
  2. Применим формулу разности квадратов: (a − b)(a + b) − (a − b)
  3. Вынесем общий множитель (a − b): (a − b)[(a + b) − 1]
  4. Упростим: (a − b)(a + b − 1)

в) m + n + m² − n²

  1. Сгруппируем по-другому: (m² − n²) + (m + n)
  2. Применим формулу разности квадратов: (m − n)(m + n) + (m + n)
  3. Вынесем общий множитель (m + n): (m + n)[(m − n) + 1]
  4. Упростим: (m + n)(m − n + 1)

г) k² − k − p² − p

  1. Сгруппируем: (k² − p²) − (k + p)
  2. Применим формулу разности квадратов: (k − p)(k + p) − (k + p)
  3. Вынесем общий множитель (k + p): (k + p)[(k − p) − 1]
  4. Упростим: (k + p)(k − p − 1)
Ответ: а) (x + y)(x − y − 1); б) (a − b)(a + b − 1); в) (m + n)(m − n + 1); г) (k + p)(k − p − 1)

Редакция 2019

№ 962.

Представьте в виде многочлена выражение:

а) (x + y)6 + (x − y)6; б) (x + y)6 − (x − y)6.

💡 Подсказка (без ответа)

Раскрой каждое выражение (x + y)⁶ и (x − y)⁶ полностью, используя формулу для 6-й степени. Обрати внимание, что при нечётных степенях переменной y знак изменяется: в (x − y)⁶ будут минусы перед нечётными степенями y, а в (x + y)⁶ — плюсы.

Решение по шагам

а) (x + y)⁶ + (x − y)⁶

Шаг 1. Раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона или посчитаем по частям.

Для (x + y)⁶: (x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

Для (x − y)⁶ (при чётной степени минусы в чётных степенях y исчезают): (x − y)⁶ = x⁶ − 6x⁵y + 15x⁴y² − 20x³y³ + 15x²y⁴ − 6xy⁵ + y⁶

Шаг 2. Складываем эти выражения. Видим, что члены с нечётными степенями y сокращаются:

(x + y)⁶ + (x − y)⁶ = 2x⁶ + 30x⁴y² + 30x²y⁴ + 2y⁶

Шаг 3. Вынесем общий множитель 2:

= 2(x⁶ + 15x⁴y² + 15x²y⁴ + y⁶)

б) (x + y)⁶ − (x − y)⁶

Шаг 1. Используем те же разложения из пункта а).

Шаг 2. Вычитаем (x − y)⁶ из (x + y)⁶. Видим, что члены с чётными степенями y сокращаются:

(x + y)⁶ − (x − y)⁶ = 12x⁵y + 40x³y³ + 12xy⁵

Шаг 3. Вынесем общий множитель 4xy:

= 4xy(3x⁴ + 10x²y² + 3y⁴)

Ответ: а) 2x⁶ + 30x⁴y² + 30x²y⁴ + 2y⁶ или 2(x⁶ + 15x⁴y² + 15x²y⁴ + y⁶); б) 12x⁵y + 40x³y³ + 12xy⁵ или 4xy(3x⁴ + 10x²y² + 3y⁴)

← Номер 961 · Номер 963 → · Все номера