Номер 953 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 953.
Докажите тождество a8 − b8 = (a − b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4).
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь, что a⁸ и b⁸ — это квадраты (a⁴)² и (b⁴)². Примени формулу разности квадратов x² − y² = (x − y)(x + y), а затем применяй эту формулу ещё раз к получившимся множителям.
Решение по шагам
Докажем тождество пошагово, раскладывая левую часть.
Шаг 1: Разложим a⁸ − b⁸ по формуле разности квадратов
Заметим, что a⁸ = (a⁴)² и b⁸ = (b⁴)².
Применим формулу x² − y² = (x − y)(x + y):
a⁸ − b⁸ = (a⁴)² − (b⁴)² = (a⁴ − b⁴)(a⁴ + b⁴)
Шаг 2: Разложим (a⁴ − b⁴)
Теперь a⁴ − b⁴ — это тоже разность квадратов: a⁴ = (a²)² и b⁴ = (b²)².
a⁴ − b⁴ = (a²)² − (b²)² = (a² − b²)(a² + b²)
Шаг 3: Разложим (a² − b²)
Это тоже разность квадратов:
a² − b² = (a − b)(a + b)
Шаг 4: Соберём всё вместе
Подставим результаты из шагов 2 и 3 в результат шага 1:
a⁸ − b⁸ = (a² − b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)
a⁸ − b⁸ = (a − b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)
Тождество доказано!
Редакция 2019
№ 953.
Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь среднее число буквой n. Тогда два соседних числа будут (n - 1) и (n + 1). Найди их произведение, используя формулу разности квадратов. После этого прибавь n и упрости выражение.
Решение по шагам
Обозначим три последовательных целых числа. Пусть среднее число — это n, тогда:
Три последовательных числа: (n - 1), n, (n + 1)
Найдём их произведение: (n - 1) · n · (n + 1)
Заметим, что (n - 1) · (n + 1) = n² - 1 (по формуле разности квадратов)
Поэтому: (n - 1) · n · (n + 1) = n(n² - 1) = n³ - n
По условию задачи прибавляем среднее число n: (n³ - n) + n
Упрощаем: n³ - n + n = n³
Получили n³, что и требовалось доказать.
Вывод: произведение трёх последовательных чисел плюс среднее число равно кубу среднего числа.