Номер 954 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 954.
Разложите на множители:
а) p4 − 16;
б) x4 − 81;
в) y8 − 1;
г) a4 − b8.
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри на каждое выражение и заметь, что оно можно записать как разность двух квадратов (например, p⁴ = (p²)², x⁴ = (x²)²). Используй формулу A² − B² = (A − B)(A + B) и применяй её несколько раз подряд.
Решение по шагам
Разложим каждое выражение на множители, используя формулу разности квадратов: A² − B² = (A − B)(A + B).
a) p⁴ − 16
Заметим, что p⁴ = (p²)² и 16 = 4²
Применяем формулу разности квадратов: p⁴ − 16 = (p²)² − 4² = (p² − 4)(p² + 4)
В первой скобке снова можно применить формулу (p² − 4 = p² − 2²): p⁴ − 16 = (p − 2)(p + 2)(p² + 4)
б) x⁴ − 81
Заметим, что x⁴ = (x²)² и 81 = 9²
Применяем формулу разности квадратов: x⁴ − 81 = (x²)² − 9² = (x² − 9)(x² + 9)
В первой скобке снова применяем формулу (x² − 9 = x² − 3²): x⁴ − 81 = (x − 3)(x + 3)(x² + 9)
в) y⁸ − 1
Заметим, что y⁸ = (y⁴)² и 1 = 1²
Применяем формулу разности квадратов: y⁸ − 1 = (y⁴)² − 1² = (y⁴ − 1)(y⁴ + 1)
В первой скобке снова применяем формулу (y⁴ − 1 = (y²)² − 1²): y⁴ − 1 = (y² − 1)(y² + 1) = (y − 1)(y + 1)(y² + 1)
Итоговое разложение: y⁸ − 1 = (y − 1)(y + 1)(y² + 1)(y⁴ + 1)
г) a⁴ − b⁸
Заметим, что a⁴ = (a²)² и b⁸ = (b⁴)²
Применяем формулу разности квадратов: a⁴ − b⁸ = (a²)² − (b⁴)² = (a² − b⁴)(a² + b⁴)
В первой скобке снова применяем формулу (a² − b⁴ = a² − (b²)²): a² − b⁴ = (a − b²)(a + b²)
Итоговое разложение: a⁴ − b⁸ = (a − b²)(a + b²)(a² + b⁴)
Редакция 2019
№ 954.
Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:
а) (6х − 1)(6х + 1) − (12х − 5)(3х + 1) при х = 0,2; б) (5+ 2х)2 − 2,5х(8х + 7) при х = −0,5.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулы сокращённого умножения: для пункта (а) — разность квадратов, для пункта (б) — квадрат суммы. После упрощения подставь числовое значение переменной.
Решение по шагам
а) (6х − 1)(6х + 1) − (12х − 5)(3х + 1) при х = 0,2
Шаг 1. Применим формулу разности квадратов к первому произведению: (6х − 1)(6х + 1) = (6х)² − 1² = 36х² − 1
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении: (12х − 5)(3х + 1) = 12х · 3х + 12х · 1 − 5 · 3х − 5 · 1 = 36х² + 12х − 15х − 5 = 36х² − 3х − 5
Шаг 3. Запишем разность и упростим: 36х² − 1 − (36х² − 3х − 5) = 36х² − 1 − 36х² + 3х + 5 = 3х + 4
Шаг 4. Найдём значение при х = 0,2: 3 · 0,2 + 4 = 0,6 + 4 = 4,6
б) (5 + 2х)² − 2,5х(8х + 7) при х = −0,5
Шаг 1. Применим формулу квадрата суммы: (5 + 2х)² = 5² + 2 · 5 · 2х + (2х)² = 25 + 20х + 4х²
Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении: 2,5х(8х + 7) = 2,5х · 8х + 2,5х · 7 = 20х² + 17,5х
Шаг 3. Запишем разность и упростим: 25 + 20х + 4х² − (20х² + 17,5х) = 25 + 20х + 4х² − 20х² − 17,5х = −16х² + 2,5х + 25
Шаг 4. Найдём значение при х = −0,5: −16 · (−0,5)² + 2,5 · (−0,5) + 25 = −16 · 0,25 − 1,25 + 25 = −4 − 1,25 + 25 = 19,75