Номер 951 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Сначала вынесите общий множитель (число и переменную с меньшей степенью) за скобки. Затем посмотрите, можно ли разложить скобку дальше, используя формулу разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).

Нужно вынести общий множитель за скобки.

а) y³ − y⁵ Оба слагаемых содержат y. Меньшая степень y — это y³. Выносим y³ за скобки: y³ − y⁵ = y³(1 − y²) Дальше можно разложить разность квадратов: = y³(1 − y²) = y³(1 − y)(1 + y)

б) 2x − 2x³ Оба слагаемых содержат множитель 2 и x. Общий множитель: 2x. Выносим 2x: 2x − 2x³ = 2x(1 − x²) Разложим разность квадратов: = 2x(1 − x²) = 2x(1 − x)(1 + x)

в) 81x² − x⁴ Оба слагаемых содержат x. Меньшая степень x — это x². Выносим x²: 81x² − x⁴ = x²(81 − x²) Видим разность квадратов: 81 − x² = 9² − x² = x²(9 − x)(9 + x)

г) 4y³ − 100y⁵ Оба слагаемых содержат y. Меньшая степень y — это y³. Оба коэффициента делятся на 4. Общий множитель: 4y³. Выносим 4y³: 4y³ − 100y⁵ = 4y³(1 − 25y²) Видим разность квадратов: 1 − 25y² = 1² − (5y)² = 4y³(1 − 5y)(1 + 5y)

Разложи многочлен на множители: вынеси х за скобку, затем разложи разность квадратов. Подумай, какими свойствами обладают три подряд идущих целых числа?

Нужно доказать, что при целых значениях х выражение х³ − х всегда делится на 6.

Шаг 1: Разложим многочлен на множители. х³ − х = х(х² − 1) = х(х − 1)(х + 1)

Получили произведение трёх подряд идущих целых чисел: (х − 1), х и (х + 1).

Шаг 2: Докажем делимость на 2. Среди трёх подряд идущих целых чисел всегда есть хотя бы одно чётное число. Значит, произведение делится на 2.

Шаг 3: Докажем делимость на 3. Среди трёх подряд идущих целых чисел одно обязательно делится на 3 (так как числа распределены по остаткам 0, 1, 2 при делении на 3). Значит, произведение делится на 3.

Шаг 4: Вывод. Мы доказали, что х(х − 1)(х + 1) одновременно делится на 2 и на 3. Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, произведение делится на их произведение: 2 × 3 = 6.

Поэтому х³ − х кратно 6 при любом целом значении х.