Номер 945 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 945.
Докажите тождество:
а) (a − 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a − c)(3c + 5a) − 8a2;
б) (1 − 2b)(1 − 5b + b2) + (2b − 1)(1 − 6b + b2) = b(1 − 2b).
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрывай скобки по правилу умножения многочленов (каждый член первого умножай на каждый член второго). Приводи подобные члены. Проверь, что левая часть равна правой части.
Решение по шагам
Пункт а)
Нужно раскрыть скобки с обеих сторон и проверить, что обе части равны.
Левая часть: (a − 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c)
Раскроем первые скобки: (a − 3c)(4c + 2a) = a·4c + a·2a − 3c·4c − 3c·2a = 4ac + 2a² − 12c² − 6ac
Раскроем вторые скобки: 3c(a + 3c) = 3ac + 9c²
Сложим: 4ac + 2a² − 12c² − 6ac + 3ac + 9c² = 2a² + (4ac − 6ac + 3ac) + (−12c² + 9c²) = 2a² + ac − 3c²
Правая часть: (2a − c)(3c + 5a) − 8a²
Раскроем скобки: (2a − c)(3c + 5a) = 2a·3c + 2a·5a − c·3c − c·5a = 6ac + 10a² − 3c² − 5ac
Вычтем 8a²: 6ac + 10a² − 3c² − 5ac − 8a² = (10a² − 8a²) + (6ac − 5ac) − 3c² = 2a² + ac − 3c²
Обе части равны 2a² + ac − 3c², тождество доказано.
Пункт б)
Раскроем левую часть по частям.
Первая часть: (1 − 2b)(1 − 5b + b²) = 1·1 + 1·(−5b) + 1·b² − 2b·1 − 2b·(−5b) − 2b·b² = 1 − 5b + b² − 2b + 10b² − 2b³ = 1 − 7b + 11b² − 2b³
Вторая часть: (2b − 1)(1 − 6b + b²) = 2b·1 + 2b·(−6b) + 2b·b² − 1·1 − 1·(−6b) − 1·b² = 2b − 12b² + 2b³ − 1 + 6b − b² = −1 + 8b − 13b² + 2b³
Сложим обе части: (1 − 7b + 11b² − 2b³) + (−1 + 8b − 13b² + 2b³) = (1 − 1) + (−7b + 8b) + (11b² − 13b²) + (−2b³ + 2b³) = 0 + b − 2b² + 0 = b − 2b² = b(1 − 2b)
Правая часть уже равна b(1 − 2b), тождество доказано.
Редакция 2019
№ 945.
Разложите на множители:
а) x2 + 2xy + y2 − m2; б) p2 − a2 − 2ab − b2; в) b2 − c2 − 8b + 16; г) 9 − c2 + a2 − 6a.
💡 Подсказка (без ответа)
В каждом пункте вначале найди формулу квадрата суммы или разности (первые несколько слагаемых), потом применишь формулу разности квадратов к получившемуся выражению.
Решение по шагам
Разложите на множители:
а) x² + 2xy + y² − m²
Шаг 1. Посмотрим на первые три слагаемых: x² + 2xy + y². Это формула квадрата суммы: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Шаг 2. Подставим это в исходное выражение: (x + y)² − m²
Шаг 3. Теперь видим разность квадратов: (x + y)² − m² = (x + y − m)(x + y + m)
б) p² − a² − 2ab − b²
Шаг 1. Посмотрим на последние три слагаемые: −a² − 2ab − b². Это можно переписать как: −(a² + 2ab + b²) = −(a + b)²
Шаг 2. Подставим в исходное выражение: p² − (a + b)²
Шаг 3. Это разность квадратов: p² − (a + b)² = (p − (a + b))(p + (a + b)) = (p − a − b)(p + a + b)
в) b² − c² − 8b + 16
Шаг 1. Переставим слагаемые удобнее: b² − 8b + 16 − c²
Шаг 2. Первые три слагаемых — это формула квадрата разности: b² − 8b + 16 = (b − 4)²
Шаг 3. Подставим: (b − 4)² − c²
Шаг 4. Это разность квадратов: (b − 4)² − c² = (b − 4 − c)(b − 4 + c)
г) 9 − c² + a² − 6a
Шаг 1. Переставим удобнее: a² − 6a + 9 − c²
Шаг 2. Первые три слагаемых — это квадрат разности: a² − 6a + 9 = (a − 3)²
Шаг 3. Подставим: (a − 3)² − c²
Шаг 4. Это разность квадратов: (a − 3)² − c² = (a − 3 − c)(a − 3 + c)