Номер 940 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 940.
(Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение (n + 8)(n − 4) − (n + 3)(n − 2) + ... пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала раскрой скобки в произведениях двучленов по правилу (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Затем вычти второй многочлен из первого и приведи подобные члены. Посмотри, какая часть получилась: та, что содержит n, и та, что — числа. Подумай, на что нужна пропущенное число, чтобы вся сумма делилась на 3.
Решение по шагам
Решение по шагам:
Пункт 1: Раскроем скобки и упростим
Раскроем первое произведение: (n + 8)(n − 4) = n² − 4n + 8n − 32 = n² + 4n − 32
Раскроем второе произведение: (n + 3)(n − 2) = n² − 2n + 3n − 6 = n² + n − 6
Выполним вычитание: (n² + 4n − 32) − (n² + n − 6) = n² + 4n − 32 − n² − n + 6 = 3n − 26
Получилось выражение: 3n − 26 + ...
Пункт 2: Обсуждение условия
Чтобы всё выражение делилось на 3 при любом целом n, нужно, чтобы часть (3n − 26 + ...) делилась на 3.
Часть 3n всегда делится на 3 при любом n.
Часть −26 при делении на 3 дает остаток 1 (потому что 26 = 3 × 8 + 2, значит −26 ≡ −2 ≡ 1 (mod 3)).
Поэтому пропущенное число должно быть ≡ −1 ≡ 2 (mod 3), то есть при делении на 3 должно давать остаток 2.
Пункт 3: Примеры подходящих чисел
Подходящие числа: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, −1, −4, −7, ...
Вариант ответа: вместо многоточия можно вписать 2 (или 5, 8, 11, и т.д.)
Тогда выражение: 3n − 26 + 2 = 3n − 24 = 3(n − 8)
Пункт 4: Проверка
Проверим для n = 1: 3(1 − 8) = 3 × (−7) = −21 — делится на 3 ✓
Проверим для n = 0: 3(0 − 8) = 3 × (−8) = −24 — делится на 3 ✓
Проверим для n = 5: 3(5 − 8) = 3 × (−3) = −9 — делится на 3 ✓
Редакция 2019
№ 940.
Разложите на множители выражение х6 − у6, представив его в виде:
а) разности квадратов;
б) разности кубов.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что х⁶ можно записать как (х³)² или как (х²)³. Это подсказывает, какую формулу сокращённого умножения применить — либо разность квадратов a² − b², либо разность кубов a³ − b³. После первого применения формулы разложи полученные выражения дальше.
Решение по шагам
Разложим выражение х⁶ − у⁶ двумя способами.
а) Как разность квадратов:
Заметим, что х⁶ = (х³)² и у⁶ = (у³)²
Тогда: х⁶ − у⁶ = (х³)² − (у³)²
Применим формулу a² − b² = (a − b)(a + b):
x⁶ − y⁶ = (x³ − y³)(x³ + y³)
Теперь каждую скобку разложим дальше, используя формулы суммы и разности кубов:
x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
Ответ для а):
x⁶ − y⁶ = (x³ − y³)(x³ + y³) = (x − y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² − xy + y²)
Или можно записать: (x − y)(x + y)(x² + xy + y²)(x² − xy + y²)
б) Как разность кубов:
Заметим, что х⁶ = (х²)³ и у⁶ = (у²)³
Тогда: х⁶ − у⁶ = (х²)³ − (у²)³
Применим формулу a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²):
x⁶ − y⁶ = (x² − y²)((x²)² + x²·y² + (y²)²)
x⁶ − y⁶ = (x² − y²)(x⁴ + x²y² + y⁴)
Разложим (x² − y²) как разность квадратов:
x² − y² = (x − y)(x + y)
Ответ для б):
x⁶ − y⁶ = (x − y)(x + y)(x⁴ + x²y² + y⁴)