Номер 921 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 921.
Разложите на множители многочлен:
а) x3 + y3;
б) m3 − n3;
в) 8 + a3;
г) 27 − y3;
д) t3 + 1;
е) 1 − c3.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни две формулы: сумма кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и разность кубов a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Сначала проверь, какую формулу применить, потом представь числа как кубы (8 = 2³, 27 = 3³, 1 = 1³).
Решение по шагам
Используем формулы суммы и разности кубов:
Формула суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Формула разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
а) x³ + y³
Это сумма кубов, где a = x, b = y.
Применяем формулу: x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
б) m³ − n³
Это разность кубов, где a = m, b = n.
Применяем формулу: m³ − n³ = (m − n)(m² + mn + n²)
в) 8 + a³
Записываем 8 как куб: 8 = 2³
Получаем сумму кубов: 2³ + a³ = (2 + a)(2² − 2a + a²) = (2 + a)(4 − 2a + a²)
г) 27 − y³
Записываем 27 как куб: 27 = 3³
Получаем разность кубов: 3³ − y³ = (3 − y)(3² + 3y + y²) = (3 − y)(9 + 3y + y²)
д) t³ + 1
Записываем 1 как куб: 1 = 1³
Получаем сумму кубов: t³ + 1³ = (t + 1)(t² − t + 1)
е) 1 − c³
Записываем 1 как куб: 1 = 1³
Получаем разность кубов: 1³ − c³ = (1 − c)(1² + c + c²) = (1 − c)(1 + c + c²)
Редакция 2019
№ 921.
Упростите выражение:
а) (3m − a)(a + 3m) − (2a + m)(3a − m); б) (x − 4y)(x + 3y) + (x − 3y)(3y + x).
💡 Подсказка (без ответа)
Для первого выражения в пункте а) заметь, что (3m − a)(a + 3m) можно переписать как разность квадратов. Для второго произведения каждой части используй правило «каждый на каждый». В пункте б) посмотри внимательнее на второе произведение — там скрывается формула разности квадратов.
Решение по шагам
Упростим каждое выражение, используя формулу разности квадратов и правило умножения многочленов.
а) (3m − a)(a + 3m) − (2a + m)(3a − m)
Шаг 1. Преобразуем первое произведение. (3m − a)(a + 3m) = (3m − a)(3m + a) Это формула разности квадратов: (A − B)(A + B) = A² − B² (3m)² − a² = 9m² − a²
Шаг 2. Раскроем второе произведение (2a + m)(3a − m). Умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго: 2a · 3a + 2a · (−m) + m · 3a + m · (−m) = 6a² − 2am + 3am − m² = 6a² + am − m²
Шаг 3. Вычитаем второе произведение из первого. 9m² − a² − (6a² + am − m²) = 9m² − a² − 6a² − am + m² = 10m² − 7a² − am
Ответ для а): 10m² − 7a² − am
б) (x − 4y)(x + 3y) + (x − 3y)(3y + x)
Шаг 1. Раскроем первое произведение (x − 4y)(x + 3y). х · х + х · 3y − 4y · х − 4y · 3y = x² + 3xy − 4xy − 12y² = x² − xy − 12y²
Шаг 2. Преобразуем второе произведение (x − 3y)(3y + x) = (x − 3y)(x + 3y). Это формула разности квадратов: (A − B)(A + B) = A² − B² x² − (3y)² = x² − 9y²
Шаг 3. Складываем оба результата. (x² − xy − 12y²) + (x² − 9y²) = x² − xy − 12y² + x² − 9y² = 2x² − xy − 21y²
Ответ для б): 2x² − xy − 21y²