Номер 914 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 914.
а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)2 − 9 делится на 4.
б) Докажите, что при любом натуральном n знчение выражения (n + 7)2 − n2 делится на 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b². После раскрытия скобок и упрощения попробуй вынести общий множитель — если у тебя получится 4(...) в пункте а) или 7(...) в пункте б), значит делимость доказана.
Решение по шагам
а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)² − 9 делится на 4.
Шаг 1. Раскроем скобки в выражении (4n + 5)². (4n + 5)² = 16n² + 40n + 25
Шаг 2. Найдём полное выражение (4n + 5)² − 9. 16n² + 40n + 25 − 9 = 16n² + 40n + 16
Шаг 3. Вынесем общий множитель 4. 16n² + 40n + 16 = 4(4n² + 10n + 4)
Шаг 4. Так как выражение представимо в виде произведения 4 на целое число (4n² + 10n + 4), оно делится на 4 при любом натуральном n.
б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)² − n² делится на 7.
Шаг 1. Раскроем скобки в выражении (n + 7)². (n + 7)² = n² + 14n + 49
Шаг 2. Найдём полное выражение (n + 7)² − n². n² + 14n + 49 − n² = 14n + 49
Шаг 3. Вынесем общий множитель 7. 14n + 49 = 7(2n + 7)
Шаг 4. Так как выражение представимо в виде произведения 7 на целое число (2n + 7), оно делится на 7 при любом натуральном n.
Редакция 2019
№ 914.
Делится ли значение выражения:
а) 383 + 373 на 75; б) 993 − 743 на 25?
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри на числа в каждом выражении: их сумма в первом случае равна 75, а разница во втором равна 25. Это наводит на мысль использовать формулы сокращённого умножения для суммы и разности кубов.
Решение по шагам
Решим оба пункта, используя свойства делимости и разложение выражений.
а) 38³ + 37³ на 75
Шаг 1: Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Шаг 2: Применяем формулу для 38³ + 37³: 38³ + 37³ = (38 + 37)(38² − 38·37 + 37²)
Шаг 3: Вычисляем первый множитель: 38 + 37 = 75
Шаг 4: Второй множитель: 38² − 38·37 + 37² = 1444 − 1406 + 1369 = 1407
Шаг 5: Получаем: 38³ + 37³ = 75 · 1407
Шаг 6: Вывод: поскольку выражение имеет множитель 75, оно делится на 75.
б) 99³ − 74³ на 25
Шаг 1: Используем формулу разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Шаг 2: Применяем формулу для 99³ − 74³: 99³ − 74³ = (99 − 74)(99² + 99·74 + 74²)
Шаг 3: Вычисляем первый множитель: 99 − 74 = 25
Шаг 4: Второй множитель: 99² + 99·74 + 74² = 9801 + 7326 + 5476 = 22603
Шаг 5: Получаем: 99³ − 74³ = 25 · 22603
Шаг 6: Вывод: поскольку выражение имеет множитель 25, оно делится на 25.