Номер 898 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 898.
Со станции М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорости поездов.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорость первого поезда как x км/ч, тогда скорость второго будет (x + 5) км/ч. За 2 часа оба поезда вместе прошли расстояние, равное общему расстоянию минус 30 км. Составь уравнение на основе пройденного расстояния.
Решение по шагам
Обозначим скорость первого поезда (отправившегося со станции М) как x км/ч.
Тогда скорость второго поезда (отправившегося со станции N) равна (x + 5) км/ч, так как она на 5 км/ч больше.
Шаг 1: Найдём, какое расстояние поезда прошли за 2 часа. Первый поезд прошёл: 2x км Второй поезд прошёл: 2(x + 5) км
Шаг 2: Составим уравнение. Поезда вышли навстречу друг другу. Расстояние между станциями 380 км. Через 2 часа им оставалось пройти 30 км до встречи.
Это значит, что за 2 часа они вместе прошли: 380 - 30 = 350 км
Шаг 3: Составим уравнение и решим его. 2x + 2(x + 5) = 350 2x + 2x + 10 = 350 4x + 10 = 350 4x = 340 x = 85
Шаг 4: Найдём скорость второго поезда. Скорость второго поезда: 85 + 5 = 90 км/ч
Шаг 5: Проверка. Первый поезд за 2 часа: 85 × 2 = 170 км Второй поезд за 2 часа: 90 × 2 = 180 км Вместе: 170 + 180 = 350 км Оставалось: 380 - 350 = 30 км ✓
Редакция 2019
№ 898.
а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5) − 9 делится на 4. б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7) − n делится на 7.
💡 Подсказка (без ответа)
Упростите выражение, приведя подобные члены. Затем вынесите общий множитель за скобки. Если получилось произведение, один из множителей которого равен числу, на которое нужно доказать делимость, то выражение делится на это число.
Решение по шагам
а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5) − 9 делится на 4.
Шаг 1. Упростим выражение (4n + 5) − 9.
(4n + 5) − 9 = 4n + 5 − 9 = 4n − 4
Шаг 2. Разложим результат на множители.
4n − 4 = 4(n − 1)
Шаг 3. Проверим делимость на 4.
Мы получили 4(n − 1). Это произведение содержит множитель 4, поэтому выражение всегда делится на 4 при любом натуральном n.
Что и требовалось доказать.
б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)² − n² делится на 7.
Шаг 1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b².
(n + 7)² = n² + 2·n·7 + 7² = n² + 14n + 49
Шаг 2. Найдём разность (n + 7)² − n².
(n + 7)² − n² = n² + 14n + 49 − n² = 14n + 49
Шаг 3. Разложим результат на множители.
14n + 49 = 7(2n + 7)
Шаг 4. Проверим делимость на 7.
Мы получили 7(2n + 7). Это произведение содержит множитель 7, поэтому выражение всегда делится на 7 при любом натуральном n.
Что и требовалось доказать.