ГлавнаяГДЗАлгебра 7 класс МакарычевНомер 895

Номер 895 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Редакция 2024

№ 895.

Докажите тождество:

а) (a + b)2 − 4ab = (a − b)2;
б) (a − b)2 + 4ab = (a + b)2;
в) (x + 3)3 + (x − 3)3 = 2x3 + 54x.

💡 Подсказка (без ответа)

Для доказательства раскройте скобки, используя формулы сокращённого умножения (квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности). Затем приведите подобные члены и убедитесь, что левая часть равна правой части.

Решение по шагам

Задание №895: Докажите тождество

а) (a + b)² − 4ab = (a − b)²

Разберём левую часть равенства:

  1. Раскроем скобки (a + b)²: (a + b)² = a² + 2ab + b²

  2. Подставим в левую часть: a² + 2ab + b² − 4ab

  3. Приведём подобные члены: a² + 2ab − 4ab + b² = a² − 2ab + b²

  4. Заметим, что это формула для (a − b)²: a² − 2ab + b² = (a − b)²

Левая часть равна правой части. Тождество доказано ✓

б) (a − b)² + 4ab = (a + b)²

Разберём левую часть:

  1. Раскроем скобки (a − b)²: (a − b)² = a² − 2ab + b²

  2. Подставим в левую часть: a² − 2ab + b² + 4ab

  3. Приведём подобные члены: a² − 2ab + 4ab + b² = a² + 2ab + b²

  4. Это формула для (a + b)²: a² + 2ab + b² = (a + b)²

Левая часть равна правой части. Тождество доказано ✓

в) (x + 3)³ + (x − 3)³ = 2x³ + 54x

Разберём левую часть, используя формулу куба суммы и куба разности:

  1. Формулы: (x + 3)³ = x³ + 3·x²·3 + 3·x·3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27 (x − 3)³ = x³ − 3·x²·3 + 3·x·3² − 3³ = x³ − 9x² + 27x − 27

  2. Сложим оба выражения: (x³ + 9x² + 27x + 27) + (x³ − 9x² + 27x − 27)

  3. Приведём подобные члены: x³ + x³ + 9x² − 9x² + 27x + 27x + 27 − 27 = 2x³ + 0 + 54x + 0 = 2x³ + 54x

Левая часть равна правой части. Тождество доказано ✓

Ответ: а) Доказано: (a + b)² − 4ab = a² − 2ab + b² = (a − b)²; б) Доказано: (a − b)² + 4ab = a² + 2ab + b² = (a + b)²; в) Доказано: (x + 3)³ + (x − 3)³ = 2x³ + 54x

Редакция 2019

№ 895.

Разложите на множители:

а) 9y2 − (1 + 2y)2; б) (3c − 5)2 − 16c2; в) 49x2 − (y + 8x)2; г) (5a − 3b)2 − 25a2; д) (−2a2 − 3b)2 − 4a4; е) b6 − (x − 4b3)2.

💡 Подсказка (без ответа)

Посмотри внимательно на каждое выражение — в нём спряталась разность квадратов. Приведи каждую часть к виду a² − b² и применяй формулу (a − b)(a + b). Помни: нужно раскрыть скобки и упростить!

Решение по шагам

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b)

а) 9y² − (1 + 2y)² Видим разность квадратов: (3y)² − (1 + 2y)² Применяем формулу: = (3y − (1 + 2y))(3y + (1 + 2y)) = (3y − 1 − 2y)(3y + 1 + 2y) = (y − 1)(5y + 1)

б) (3c − 5)² − 16c² Видим разность квадратов: (3c − 5)² − (4c)² Применяем формулу: = (3c − 5 − 4c)(3c − 5 + 4c) = (−c − 5)(7c − 5) = −(c + 5)(7c − 5)

в) 49x² − (y + 8x)² Видим разность квадратов: (7x)² − (y + 8x)² Применяем формулу: = (7x − (y + 8x))(7x + (y + 8x)) = (7x − y − 8x)(7x + y + 8x) = (−x − y)(15x + y) = −(x + y)(15x + y)

г) (5a − 3b)² − 25a² Видим разность квадратов: (5a − 3b)² − (5a)² Применяем формулу: = (5a − 3b − 5a)(5a − 3b + 5a) = (−3b)(10a − 3b) = −3b(10a − 3b)

д) (−2a² − 3b)² − 4a⁴ Видим разность квадратов: (−2a² − 3b)² − (2a²)² Применяем формулу: = (−2a² − 3b − 2a²)(−2a² − 3b + 2a²) = (−4a² − 3b)(−3b) = −3b(−4a² − 3b) = 3b(4a² + 3b)

е) b⁶ − (x − 4b³)² Видим разность квадратов: (b³)² − (x − 4b³)² Применяем формулу: = (b³ − (x − 4b³))(b³ + (x − 4b³)) = (b³ − x + 4b³)(b³ + x − 4b³) = (5b³ − x)(x − 3b³)

Ответ: а) (y − 1)(5y + 1); б) −(c + 5)(7c − 5); в) −(x + y)(15x + y); г) −3b(10a − 3b); д) 3b(4a² + 3b); е) (5b³ − x)(x − 3b³)

← Номер 894 · Номер 896 → · Все номера